Bestäm om oändlig summa konvergerar eller divergerar

Har du inte stött på de enklare serierna med 1/k och 1/k^2 förut? Man brukar få se att den ena är divergent och den andra inte. 

Tyvärr är det så att det inte räcker med att testa gränsvärdet mot oändligheten för att visa att en summa är konvergent. Det går att bevisa att den divergerar, men inte att den konvergerar.

Här måste du använda något av konvergenstesten. Jag föreslår att du använder jämförelsetestet och jämför med summan:

$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$

AlvinB skrev:

Tyvärr är det så att det inte räcker med att testa gränsvärdet mot oändligheten för att visa att en summa är konvergent. Det går att bevisa att den divergerar, men inte att den konvergerar.

Här måste du använda något av konvergenstesten. Jag föreslår att du använder jämförelsetestet och jämför med summan:

$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$

 Ja jag är medveten om konvergenstesten och ville använda jämförelsetestet men visste inte vilken funktion jag skulle kunna jämföra med. Tack! Problemet är bara att jag får samma skumma svar från $\sum _{k=2}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{k}}$, dvs den är divergent. Problemet är att jag inte riktigt förstår hur det är möjligt för ett uttryck som går mot noll att vara divergent. Varje term adderas ju med en ännu mindre term... om och om igen, och då borde väl summan gå mot ett specifikt tal? Till slut så adderas termerna med jättesmå tal som 0.000000....1

Summan av ett antal små tal som går mot noll kan bli oändlig om talen inte går tillräckligt snabbt mot noll.

Tips: jämför summan: $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt k}$ med integralen: $\int_2^{\infty} \frac{1}{\sqrt x} dx$. Är integralen konvergent eller divergent?

Hör är en divergent serie: Ta först 0,1 10 ggr, sedan 0,01 100 ggr, 0,001 1000 ggr, och så vidare. Termerna blir hur små som helst, men man kan se att summan innehåller hur många ettor som helst.

tomast80 skrev:

Summan av ett antal små tal som går mot noll kan bli oändlig om talen inte går tillräckligt snabbt mot noll.

Tips: jämför summan: $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt k}$ med integralen: $\int_2^{\infty} \frac{1}{\sqrt x} dx$. Är integralen konvergent eller divergent?

 Hmm okej. Det visste jag inte. Hur vet man man dock var "gränsen" går? Alltså hur snabbt måste en funktion avta för att kunna kallas konvergent? T.ex. så var ju $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{\left(\ln \right(x!){)}^2}$ konvergent men $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{\ln (x!)}$ är inte det (divergent).

Det gäller att

    $\ln k! = \ln k + \ln(k-1)+\cdots +\ln 2$

och

    $\ln x \leq x-1$; olikheten är skarp.

En aritmetisk series summa är som bekant lika med

    $(k-1)+(k-2)+\cdots +(2-1) = \frac{k(k-1)}{2}$.

Partialbråksuppdelning ger

    $\frac{2}{k(k-1)}=2(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})$

Nide skrev:

tomast80 skrev:

Summan av ett antal små tal som går mot noll kan bli oändlig om talen inte går tillräckligt snabbt mot noll.

Tips: jämför summan: $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt k}$ med integralen: $\int_2^{\infty} \frac{1}{\sqrt x} dx$. Är integralen konvergent eller divergent?

 Hmm okej. Det visste jag inte. Hur vet man man dock var "gränsen" går? Alltså hur snabbt måste en funktion avta för att kunna kallas konvergent? T.ex. så var ju $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{\left(\ln \right(x!){)}^2}$ konvergent men $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{\ln (x!)}$ är inte det (divergent).

 Det finns inget enkelt sätt att se det på - det är därför man behöver alla kvottest, rottest, integraltest och jämförelsetest.

Det är lätt att bevisa divergens om man ser att uttrycket inte går mot noll när $k\to\infty$, men det är betydligt svårare att bevisa konvergens.

Albiki skrev:

Det gäller att

    $\ln k! = \ln k + \ln(k-1)+\cdots +\ln 2$

och

    $\ln x \leq x-1$; olikheten är skarp.

En aritmetisk series summa är som bekant lika med

    $(k-1)+(k-2)+\cdots +(2-1) = \frac{k(k-1)}{2}$.

Partialbråksuppdelning ger

    $\frac{2}{k(k-1)}=2(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})$

 Arbetet ovan ger en nedre begränsning till partialsummorna. 

    $\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\ln k!} \geq \sum_{k=2}^{n} 2(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}) = 2 (1-\frac{1}{n})$.

Detta hjälper emellertid inte till att avgöra om serien är konvergent eller divergent.

Seriens partialsummor är på formen 

    $\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\ln k!} = \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2 + \ln 3} + \frac{1}{\ln 2 + \ln 3 + \ln 4} + \cdots + \frac{1}{\ln 2 + \cdots + \ln n}.$

Partialsumman är lika med $n/H_{n}$ där $H_n$ är det harmoniska medelvärdet av talen $\ln k!$ där $k=2 ... n$.

Olikheten mellan harmoniskt och aritmetiskt medel ger en undre begränsning till partialsumman.

$n/H_n \geq \frac{n^3}{\ln 2 + (\ln 2 + \ln 3) + (\ln 2 + \ln 3 + \ln 4) + \cdots + (\ln 2 + \cdots + \ln n)}$.