Bestäm om linjärt ber/oberoende
I en hjälpsats sägs det att ett rum R^n där R är rummet med dimension n så ska 1. fler än n vektorer alltid vara linjärt beroende och 2. färre än n vektorer kan inte spänna upp ett R^n, så kan man då dra slutsatsen att om vi har fyra obektanta (dvs n = 4) och enbart 3 ekvationer (eller vektorer) så blir det linjärt oberoende?
Hjälpsatsen 5.1 finns i boken linjär algebra Jonas Månsson och patrick Nordbeck.
Nej, det kan vi inte. T.ex kommer följande ekvationssystem vara linjärt beroende:
3x+2y+z=1
6x+4y+2z=2
Kan hjälpsatsen vara till användning för detta ändamål eller finns den till för något annat? (alltså är denna hjälpsats till för att beskriva om beroende/oberoende linjäritet)?
Hjälpsatsen du åberopar handlar om dimensionen av kolonnrummet och de vektorer som spänner det. Det går inte att använda på det sätt du vill.
Om du har fler obekanta än antal ekvationer är risken hög att du får oändligt många lösningar. Du skulle kunna använda Daniels sats som säger så här:
Ett homogent linjärt ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer har oändligt många lösningar.
Att systemet är homogent betyder att det kan skrivas på formen , alltså med nollvektorn i HL.
