Bestäm om konvergerar (Matematik/Universitet)

x⁴ dominerar, så jag skulle kolla om jag kan bevisa att x⁴+lnx är mindre än 2x⁴ eller nåt sånt.

Laguna skrev:
x⁴ dominerar, så jag skulle kolla om jag kan bevisa att x⁴+lnx är mindre än 2x⁴ eller nåt sånt.

jag tänkte första integrera kvoten men vet inte hur?

Räcker det inte att först konstatera att

$\frac{1}{x^4+\ln x}\le \frac{1}{x^4}$ för $x\ge 1$ ?

tomast80 skrev:
Räcker det inte att först konstatera att

$\frac{1}{x^4+\ln x}\le \frac{1}{x^4}$ för $x\ge 1$ ?

måste jag inte hitta ett värde? det konvergerar om det existerar

Cien skrev:
tomast80 skrev:
Räcker det inte att först konstatera att

$\frac{1}{x^4+\ln x}\le \frac{1}{x^4}$ för $x\ge 1$ ?

måste jag inte hitta ett värde? det konvergerar om det existerar

Du måste inte nödvändigtvis, men det underlättar ifall det är enkelt att räkna fram. Vad blir:

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^4}dx$ ? Detta blir ett tak för den ursprunliga integralen.

tomast80 skrev:
Cien skrev:
tomast80 skrev:
Räcker det inte att först konstatera att

$\frac{1}{x^4+\ln x}\le \frac{1}{x^4}$ för $x\ge 1$ ?

måste jag inte hitta ett värde? det konvergerar om det existerar

Du måste inte nödvändigtvis, men det underlättar ifall det är enkelt att räkna fram. Vad blir:

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^4}dx$ ? Detta blir ett tak för den ursprunliga integralen.

Det blir 1/3, känns inte som man löser uppgiften ordentligt om man inte integrerar kvoten. Försöker faktorisera nämnaren för att sedan använda partialbråksuppdelning men får inte till det, vet att man ska skriva om lnx till något men kommer inte på de...

Om du visar att integralen är mindre än en annan integral som har värdet 1/3 så har du givit en övre gräns för hur stor den första integralen kan vara. Det finns ingen anledning att krångla till det i onödan!

Smaragdalena skrev:
Om du visar att integralen är mindre än en annan integral som har värdet 1/3 så har du givit en övre gräns för hur stor den första integralen kan vara. Det finns ingen anledning att krångla till det i onödan!

Dålig på detta, en generaliserad integral är konvergent med värdet x om gränsvärdet existerar, om gränsvärdet inte existerar är integralen divergent. Jag är inte lika duktiga som er och förstår inte hur vi visar att en integral är mindre än en annan bevisar att den är konvergent? edit: samt "Om du visar att integralen är mindre än en annan integral" vad menar du med detta? vi har bara en integral?

Tanken är den: Om du kan hitta en integral som du vet konvergerar, och denna integral är större än denna integral. Då måste även denna integral konvergera. (Om något större blir ändligt, måste även detta mindre bli ändligt)

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4} + \ln (x)} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4}} V L k o n v e r g e r a r \Rightarrow H L k o n v e r g e r a r$

Att VL konvergerar är "trivialt" då

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} k o n v e r g e r a r d å p > 1 d i v e r g e r a r m o t \infty o m p \leq 1$

Om du inte sett detta med integraler, har du antagligen sett detta med serier. Viktigt att komma ihåg är följande:

$i n t e g r a l k o n v e r g e r a r \Leftrightarrow d e s s m o t s v a r a n d e s e r i e k o n v e r g e r a r$

beerger skrev:
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4} + \ln (x)} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4}} V L k o n v e r g e r a r \Rightarrow H L k o n v e r g e r a r$

Att VL konvergerar är "trivialt" då

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} k o n v e r g e r a r d å p > 1 d i v e r g e r a r m o t \infty o m p \leq 1$

Om du inte sett detta med integraler, har du antagligen sett detta med serier. Viktigt att komma ihåg är följande:

$i n t e g r a l k o n v e r g e r a r \Leftrightarrow d e s s m o t s v a r a n d e s e r i e k o n v e r g e r a r$

Tack ska du ha!! jag har bara en fråga, i vårt fall är p=4 (>1)och kvittar det vad den andra termen är?

beerger skrev:
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4} + \ln (x)} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4}} V L k o n v e r g e r a r \Rightarrow H L k o n v e r g e r a r$

Att VL konvergerar är "trivialt" då

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} k o n v e r g e r a r d å p > 1 d i v e r g e r a r m o t \infty o m p \leq 1$

Om du inte sett detta med integraler, har du antagligen sett detta med serier. Viktigt att komma ihåg är följande:

$i n t e g r a l k o n v e r g e r a r \Leftrightarrow d e s s m o t s v a r a n d e s e r i e k o n v e r g e r a r$

Är ekvivalensen sann? Integranden kan vara godtyckligt stor när x inte är ett heltal. Ta |sin(pi x)|, t.ex.

Om funktionen är avtagande kanske det gäller.

1/(f(x) plus något positivt) är alltid mindre än 1/f(x).

Laguna skrev:
beerger skrev:
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4} + \ln (x)} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4}} V L k o n v e r g e r a r \Rightarrow H L k o n v e r g e r a r$

Att VL konvergerar är "trivialt" då

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} k o n v e r g e r a r d å p > 1 d i v e r g e r a r m o t \infty o m p \leq 1$

Om du inte sett detta med integraler, har du antagligen sett detta med serier. Viktigt att komma ihåg är följande:

$i n t e g r a l k o n v e r g e r a r \Leftrightarrow d e s s m o t s v a r a n d e s e r i e k o n v e r g e r a r$

Är ekvivalensen sann? Integranden kan vara godtyckligt stor när x inte är ett heltal. Ta |sin(pi x)|, t.ex.

Om funktionen är avtagande kanske det gäller.

Oj, det har du alldeles rätt i. Glömde tillägga det

Om f är en icke-negativ kontinuerlig funktion, avtagande på $[0, \infty)$ för något N > 0. Då gäller:

$\int_{N}^{\infty} f (x) d x o c h \sum_{n = 1}^{\infty} f (n)$ antingen båda konvergerar eller båda divergerar.