bestäm om den är deriverbar

Derivera uttrycket du har för f(x). Vad händer med värdet av derivatan när x går mot noll från höger? Från vänster?

Smutstvätt skrev:

Derivera uttrycket du har för f(x). Vad händer med värdet av derivatan när x går mot noll från höger? Från vänster?

Den existerar inte men hur vet jag att jag ska undersöka just när den går mot 0?

Du har ett uttryck för f(x) för alla x utom noll. Det uttrycket vet vi är deriverbart, eftersom det består av deriverbara funktioner, förutom då x = 0. Vi vet även att f(x) har en annan definition i x = 0, och därför måste vi kontrollera om deriverbarhet gäller då x = 0.

Smutstvätt skrev:

Du har ett uttryck för f(x) för alla x utom noll. Det uttrycket vet vi är deriverbart, eftersom det består av deriverbara funktioner, förutom då x = 0. Vi vet även att f(x) har en annan definition i x = 0, och därför måste vi kontrollera om deriverbarhet gäller då x = 0.

men f(x) är ju 0 i x=0 så f´(0) borde väll vara 0??

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

Dr. G skrev:

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

eftersom f(x)=0 då x=0 är derivatan 0 ju?

Nej, det betyder bara att f(0) i uttrycket som Dr. G skrev är 0. Sätt nu in f(0 + h) och dela med h och förenkla. Existerar gränsvärdet då h går mot 0? I så fall är f deriverbar i 0.

Smutstvätt skrev:

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

men det är väll 0, f(x) är ju 0 då x=0? förstår inte varför man kollar f´(0) för xsin(1/x) när x=0 inte ens ingår i dess definitionsmängd.

lamayo skrev:

Smutstvätt skrev:

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

men det är väll 0, f(x) är ju 0 då x=0? förstår inte varför man kollar f´(0) för xsin(1/x) när x=0 inte ens ingår i dess definitionsmängd.

Vad derivatan är i en punkt beror inte bara på funktionsvärdet i den punkten. 

dioid skrev:

Nej, det betyder bara att f(0) i uttrycket som Dr. G skrev är 0. Sätt nu in f(0 + h) och dela med h och förenkla. Existerar gränsvärdet då h går mot 0? I så fall är f deriverbar i 0.

Men om f(0)=0 är ju f´(0)=0 förstår inte hur det inte är så :/

Laguna skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Smutstvätt skrev:

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

men det är väll 0, f(x) är ju 0 då x=0? förstår inte varför man kollar f´(0) för xsin(1/x) när x=0 inte ens ingår i dess definitionsmängd.

Vad derivatan är i en punkt beror inte bara på funktionsvärdet i den punkten. 

Aaa det är ju solklart egentligen. Jag fattar nu tack så jättemkt!!

Nej, värdet i en enstaka punkt bestämmer inte derivatan, du behöver kolla på värden i en omgivning till punkten.

Om f(x) = x^2 - 4 då x != 2 och f(2) = 0, skulle du säga att f'(2) = 0 eftersom f(2) = 0? Observera att den funktionen sammanfaller med f(x) = x^2 - 4 för alla x, vad har den för derivata då x = 2?

dioid skrev:

Nej, värdet i en enstaka punkt bestämmer inte derivatan, du behöver kolla på värden i en omgivning till punkten.

 

Om f(x) = x^2 - 4 då x != 2 och f(2) = 0, skulle du säga att f'(2) = 0 eftersom f(2) = 0? Observera att den funktionen sammanfaller med f(x) = x^2 - 4 för alla x, vad har den för derivata då x = 2?

kom på det nu, tack!!

Villkoret för att en funktion ska vara deriverbar i en punkt är att höger- och vänsterderivatan existerar och är lika i punkten.

Högerderivatan: $\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}$där man med 0+ menar mindre och mindre positiva värden på h. Motsvarande 0- för vänsterderivatan är mindre och mindre negativa värden på h.

mattenjutaren skrev:

Villkoret för att en funktion ska vara deriverbar i en punkt är att höger- och vänsterderivatan existerar och är lika i punkten.

Högerderivatan: $\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}$där man med 0+ menar mindre och mindre positiva värden på h. Motsvarande 0- för vänsterderivatan är mindre och mindre negativa värden på h.

tack så mkt! :)

lamayo skrev:

Dr. G skrev:

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

eftersom f(x)=0 då x=0 är derivatan 0 ju?

Vi utgår från att derivatan existerar. I så fall

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{h\sin\frac{1}{h}-0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \sin\frac{1}{h}$

Gränsvärdet existerar dock inte. Varför?

Dr. G skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Dr. G skrev:

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

eftersom f(x)=0 då x=0 är derivatan 0 ju?

Vi utgår från att derivatan existerar. I så fall

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{h\sin\frac{1}{h}-0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \sin\frac{1}{h}$

Gränsvärdet existerar dock inte. Varför?

om h går mot 0 kommer vinkeln gå mot oändligheten?