Bestäm nollställets multipicitet

Polynomet $p (x) = x^{5} - 10 x^{2} + 15 x - 6$ , har nollstället x=1.

Bestäm nollställets multiplicitet och faktorisera polynomet.

Första gången jag stöter på begreppet multiplicitet, men om jag förstår det rätt så är det n'et i min uppställning nedan ? Om jag förstått det rätt, hur bestämmer jag n?

$p (x) = {(x - 1)}^{n} \cdot q (x) \Rightarrow q (x) = \frac{p (x)}{{(x - 1)}^{n}} = \frac{x^{5} - 10 x^{2} + 15 x - 6}{{(x - 1)}^{n}}$

Kan du kanske använda dig av derivata på något sätt?

Precis. Jag hade löst det genom polynomdivision, och sett hur många gånger det går "jämnt upp"

haraldfreij skrev:
Precis. Jag hade löst det genom polynomdivision, och sett hur många gånger det går "jämnt upp"

Hur då menar du ? Jag testade att köra polynomdivision med ${(x - 1)}^{1}$ som nämnare, kan jag göra något med resultatet av detta ?

kvot = $x^{4} - x^{3} - x^{2} - 11 x + 4$

rest= (-2)

Du har gjort fel ganska nära början, det blir $x^4$ , inte $-x^4$ när du har gjort den första subtraktionen.

Eftersom det står att x=1 är en lösning så måste division med x-1 ge resten 0, annars har du gjort något fel (Smaragdalena pekade ut var). När du gjort den här första polynomdivisionen kan du prova att dividera med x-1 igen. Om nollstället har multiplicitet minst två ska det gå jämnt upp igen. Forstätt så tills du får en rest - då vet du att x-1 inte längre är en faktor och att du alltså hittat alla multiplar av nollstället.

Det går även att konstatera att

$p(1)=p'(1)=p''(1)=0$

och att

$p'''(1)\neq 0$

Det ger nollställets multiplicitet.

Svara

Visa senaste svar