Bestäm minsta värdet

$\frac{2\sin \left(3x\right)}{3}-x=\frac{2}{3}\sin \left(3x\right)-x$

Är det rätt?

Nej, kom ihåg kedjeregeln.

Jag sätter derivatan lika med 0 och får följande lösningar . Hur gör jag för att hitta minst värdet? Hur kan jag hitta minsta värdet till funktionen?

Du får rätt derivata, även om redovisningen är lite oklar.

Är -x verkligen del av den yttre funktionen?

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}f\left(x\right)=\frac{2}{3}·\frac{d}{dx}\left(\sin \left(3x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(x\right)\iff \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}·\frac{d}{dx}\left(\sin \left(3x\right)\right)-1 (*) \\ Låt g\left(x\right) = \sin \left(x\right) \\ h\left(x\right) = 3x \\ g\left(h\right(x\left)\right) = \sin \left(3x\right) \\ Deriva\tan av denna sammansatta funktion blir \\ g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)h\text{'}\left(x\right)=\cos \left(3x\right)3=3\cos \left(3x\right) \\ Stoppa in i (*) \\ f\text{'}\left(x\right) =\frac{2}{3}·3\cos \left(3x\right)-1=2\cos \left(3x\right)-1 \end{gathered}$$

För att svara på frågan. Nu får du göra teckentabell för de lösningar som ligger i intervallet o se om det är minimipunkt.

Ska jag testa med olika värden för x? Dvs att jag ska testa att sätt in x=1,2,3..4.5..osv 

för f’(x)=2cos(3x)-1

Hur hittar man Max / minsta värdet .. Hur ska tabellen se ut?

Kika på den här:

https://www.youtube.com/watch?v=40S7OsI4VzA

Går det att lösa den här uppgiften? Min lärare sa att det är något fel med uppgiften och att man inte kan lösa den..?

Det går absolut!

Derivatan är alltså noll vid $x=\pm \frac{1}{9}\mathrm{\pi }+\frac{2}{3}\mathrm{\pi }·\mathrm{n}, \mathrm{n}\in \mathrm{ℝ}$

Eftersom x måste ligga i intervallet $1\le x\le 2$, så vill vi se om vi se om det finns en lösning ovan som ligger i det intervallet.

$$\begin{gathered} Provar: \\ x=\frac{1}{9}\mathrm{\pi }+\frac{2}{3}\mathrm{\pi }=\frac{7}{9}\mathrm{\pi }\approx \frac{21}{9}>2 (u\tan för intervallet) \\ \mathrm{x}=-\frac{1}{9}\mathrm{\pi }+\frac{2}{3}\mathrm{\pi }=\frac{5}{9}\mathrm{\pi }\approx \frac{16}{9}(\mathrm{ligger} \mathrm{i} \mathrm{intervallet}) \end{gathered}$$

Alltså den enda lösningen att testa är $\frac{5}{9}\mathrm{\pi }$

Gör en teckentabell:

Således är $x=\frac{5}{9}\mathrm{\pi }$ en minimipunkt.

Stoppa in i f(x):

$$\begin{gathered} f\left(\frac{5}{9}\mathrm{\pi }\right)=\frac{2\sin \left(3·\frac{5}{9}\mathrm{\pi }\right)}{3}-\frac{5}{9}\mathrm{\pi }=\frac{2\sin \left({\displaystyle \frac{15\mathrm{\pi }}{9}}\right)}{3}-\frac{5}{9}\mathrm{\pi }=\frac{6\sin \left({\displaystyle \frac{15\mathrm{\pi }}{9}}\right)}{9}-\frac{5}{9}\mathrm{\pi }=\frac{6\sin \left({\displaystyle \frac{15\mathrm{\pi }}{9}}\right)-5\mathrm{\pi }}{9}=\frac{6\sin \left({\displaystyle \frac{6}{9}\mathrm{\pi }+\frac{9}{9}\mathrm{\pi }}\right)-5\mathrm{\pi }}{9}= \\ (\mathrm{kolla} \mathrm{enhetscirkel} \mathrm{varför} \mathrm{nästa} \mathrm{steg} \mathrm{blir} \mathrm{som} \det \mathrm{blir}) \\ =\frac{-6\sin \left({\displaystyle \frac{6}{9}\mathrm{\pi }}\right)-5\mathrm{\pi }}{9}=\frac{-6\sin \left({\displaystyle \frac{2}{3}\mathrm{\pi }}\right)-5\mathrm{\pi }}{9}=\frac{-6\sin \left({\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{\pi }}\right)-5\mathrm{\pi }}{9}=\frac{-6{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-5\mathrm{\pi }}{9}=\frac{-3\sqrt{3}-5\mathrm{\pi }}{9}=\frac{-3\sqrt{3}}{9}-\frac{5}{9}\mathrm{\pi }=\frac{-\sqrt{3}}{3}-\frac{5}{9}\mathrm{\pi }=-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{9}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Minsta värdet är alltså: $-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{9}\mathrm{\pi }\approx -2,323$

Här ser du f(x) (den röda) och dess derivata f'(x) i intervallet $1\le x\le 2$

Jag förstår inte varför jag enbart får positiva värden på derivatan 

Se min edit ovan.

Varför sa din lärare att den inte gick att lösa?

Kan du förklara det här steget? Hur förenklar du det som står i VL till HL?

Varför blir det ”minus” 6sin ?

Använd enhetscirkeln.

Jaha okej. Nu förstår jag! Tackar!

Inga problem!

Du kan ju visa för din lärare att det faktiskt går att lösa den.