Bestäm minsta positiva heltalet n_0 så att den diofantiska ekv. har en lösning

Uppgift:

Bestäm med bevis det minsta positiva heltalet $n_{0}$ så att den Diofantiska ekvationen
5x + 7y = n har en lösning där x ≥ 0 och y ≥ 0, för varje n $\geq n_{0}$ .

Fråga:

I lösningen så antas att $n_{0}$ = 24, men varför inte $n_{0} = 22$ ?
5*3 + 7*1 = 22

sgd(5,7) = 1 | 22

Det ska finnas en lösning för varje större tal också, alltså även 23. Gör det det?

Laguna skrev:
Det ska finnas en lösning för varje större tal också, alltså även 23. Gör det det?

Nej det gör det inte ser jag nu. Men finns det ett smidigt sätt att se att 24 är det minsta positiva eller måste jag testa mig fram på detta vis:

$5 \times 1 + 7 \times 0 = 5 5 \times 0 + 7 \times 1 = 7 5 \times 2 + 7 \times 0 = 10 . . . 5 \times 2 + 7 \times 2 = 24 5 \times 5 + 7 \times 0 = 25 5 \times 1 + 7 \times 3 = 26 5 \times 4 + 7 \times 1 = 27$

Jag vet inget smidigt sätt på rak arm, utom att det kanske är bättre att börja med 2(a+b) och gå nedåt i stället. Först tänkte jag att n = 2(a+b)-1 kanske aldrig har en lösning, men för t.ex. 7x+6y=25 har den det.

Svara

Visa senaste svar