1 svar
92 visningar
edinaissa 37
Postad: 9 aug 2023 17:19

Bestäm minsta avståndet från kurvan till origo (flervariabel)

Har fastnat här. Använde vanliga avstånd formeln och körde som envariabeln och fick rätt svar men fastnar när jag försöker parametrisera eller använda lagranges metoden. 

Smutstvätt 25214 – Moderator
Postad: 9 aug 2023 18:18

Börja med parametrisering. Vi har två funktioner att förhålla oss till: 

  • Avståndet till punkten (a, b) ges av funktionen d(x,y)=x-a2+y-b2
  • Kurvan ges av funktionen y(x)=1-x2y(x)=1-x^2

Vi vill hitta de punkter som ligger på kurvan (krav två) och minimerar värdet av d(x,y)d(x,y) (krav ett). 

Vi vill hitta en funktion r(t) som tar in en variabel, t, och spottar ut två värden, motsvarande x och y. Detta vill vi göra eftersom att det är mycket lättare att derivera en funktion med en variabel, än en funktion med två variabler. 

Om vi kallar x=tx=t, får vi att y=1-t2y=1-t^2. Vår funktion r kan därmed skrivas som r(t)=t,1-t2. Denna funktion kan vi nu sätta in i avståndsfunktionen: 

dr(t)=t-02+1-t2-02=t2+1-2t2+t4=t4-t2+1

Nu kan vi derivera d för att hitta extrempunkterna, och därigenom det minsta avståndet. :) 


Tillägg: 9 aug 2023 18:19

För denna funktion är inte parametrisering särskilt mycket mer effektiv än att använda avståndsformeln direkt (det är i princip det vi gör), men för många krångligare funktioner och former kan det vara en mycket effektiv metod. 

Svara
Close