Bestäm minsta avståndet från kurvan till origo (flervariabel)

Börja med parametrisering. Vi har två funktioner att förhålla oss till: 

• Avståndet till punkten (a, b) ges av funktionen $d(x,y)=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}$
• Kurvan ges av funktionen $y(x)=1-x^2$

Vi vill hitta de punkter som ligger på kurvan (krav två) och minimerar värdet av $d(x,y)$ (krav ett). 

Vi vill hitta en funktion $\stackrel{\rightharpoonup }{r}\left(t\right)$ som tar in en variabel, t, och spottar ut två värden, motsvarande x och y. Detta vill vi göra eftersom att det är mycket lättare att derivera en funktion med en variabel, än en funktion med två variabler. 

Om vi kallar $x=t$, får vi att $y=1-t^2$. Vår funktion r kan därmed skrivas som $\stackrel{\rightharpoonup }{r}\left(t\right)=\left(t,1-t^2\right)$. Denna funktion kan vi nu sätta in i avståndsfunktionen: 

$d\left(\stackrel{\rightharpoonup }{r}\left(t\right)\right)=\sqrt{{\left(t-0\right)}^2+{\left(\left(1-t^2\right)-0\right)}^2}=\sqrt{t^2+1-2t^2+t^4}=\sqrt{t^4-t^2+1}$

Nu kan vi derivera d för att hitta extrempunkterna, och därigenom det minsta avståndet. :) 

Tillägg: 9 aug 2023 18:19

För denna funktion är inte parametrisering särskilt mycket mer effektiv än att använda avståndsformeln direkt (det är i princip det vi gör), men för många krångligare funktioner och former kan det vara en mycket effektiv metod.