36 svar

1100 visningar

Jonfi behöver inte mer hjälp

Bestäm med hjälp av derivatans definition

Bestäm med hjälp av derivatans definition f´(x) då f(x)= $\frac{1}{2 x + 1}$ .

Frågan är väl att jag ska härleda funktionen med denna formel: $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Jag har haft väldiga problem med derivatan av "potensfunktioner" och är osäker på hur jag gör egentligen. Det har helt kört fast.

Är jag ens rätt ute här?

$\frac{f (\frac{1}{2 x + 1)} + h) - f (\frac{1}{2 x + 1})}{h} \Rightarrow$

Mvh, Jonathan

Inte riktigt. Du ska ta uttrycket:

$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

och byta ut funktionen $f$ mot $\frac{1}{2x+1}$ . $f(x)$ blir lätt, det har du ju redan fått givet, men vad blir $f(x+h)$ ?

$\frac{1}{2 x + 1} * (x + h) - \frac{1}{2 x + 1} * (x) \Rightarrow \frac{x h}{2 x + 1} - \frac{x}{2 x + 1}$

Så?

Nej. Du skall ta uttrycket $\frac{1}{2x+x}$ h stoppa in " $x+h$ " på alla ställen där det står " $x$ ". Gör det och visa vad du får.

$\frac{1}{2 (x + h) + 1}$

Bra! Derivatauttrycket blir alltså:

$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0} \frac{\frac{1}{2(x+h)+1}-\frac{1}{2x+1}}{h}$

Kan du beräkna detta gränsvärde?

Förstår inte, nej?

Sätta h=0?

Jonfi skrev:
Förstår inte, nej?

Sätta h=0?

Ja, men inte ännu, för då delar du med 0.Förenkla uttrycket först.

$\frac{1}{2 x + 2 h + 1} - \frac{1}{2 x + 1}$ - Det här är det ända jag ser jag kan göra.

Det jag vill göra spontant är förlänga nämnare så att jag kan utföra subtraktionen

Bra idé! Förläng de båda bråken så att de har samma nämnare. Hur blir det då?

Smaragdalena skrev:
Bra idé! Förläng de båda bråken så att de har samma nämnare. Hur blir det då?

$(2 x + 2 h + 1) * \frac{1}{2 x + 2 h + 1} - \frac{1}{2 x + 1} * (2 x + 2 h + 1) \Rightarrow, \frac{2 x + 2 h + 1}{2 x + 2 h + 1} - \frac{2 x + 2 h + 1}{2 x + 1}$

$- \frac{\frac{2 x + 2 h + 1}{2 x + 1}}{h}$

Hej!

Nämnaren är på botten du ska förenkla $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} t i l l \frac{a d - b c}{b d}$

Nej, du skall förlänga var och en av termerna med den andra termens nämnare, så att båda termerna får samma nämnare. Nu har du multiplicerat båda termerna med (2x+2h+1), och det tjänar du ingenting på.

Förstår inte hur jag inte får till det. Väldigt frustrerande

$\frac{1}{2 x + 2 h + 1} - \frac{1}{2 x + 1} \Rightarrow \frac{2 x + 1}{4 x + 2 h + 1} - \frac{2 x + 2 h + 1}{4 x + 2 h + 1}$

Är det så här ni menar?

När man ska förlänga nämnare samt täljare måste man väl multiplicera in tal?

Hej! 1. när man förlänger tal så multiplicerar man talet med $1 = \frac{1}{1} = \frac{x}{x}$ ,

exempel $\frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x} = \frac{2 x}{(x - 1) x} - \frac{3 (x - 1)}{x (x - 1)} = \frac{2 x - 3 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Ditt svar var inte rätt

Ni har då tålamod iallafall och det är väldigt uppskattat.

$\frac{1}{2 x + 2 h + 1} - \frac{1}{2 x + 1} \Rightarrow \frac{2 x + 1}{4 x^{2} + 2 x + 4 x h + 1} - \frac{2 x + 2 h + 1}{4 x^{2} + 2 x h + 2 x + 2 x + 2 h + 1} \frac{2 x + 1}{4 x^{2} + 2 x + 4 x h + 1} - \frac{2 x + 2 h + 1}{4 x^{2} + 2 x h + 4 x + 2 h + 1}$

Nu känns det som jag måste närma mig ?

Jadå!, Det blev lite fel i beräkningen, dina nämnare kommer vara lika. Efter din första pil skulle du ha $\frac{2 x + 1}{(2 x + 2 h + 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x + 2 h + 1}{(2 x + 2 h + 1) (2 x + 1)}$

$\frac{2 x + 1}{(2 x + 2 h + 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x + 2 h + 1}{(2 x + 2 h + 1) (2 x + 1)} \Rightarrow 2 x + 2 h + 1 - 2 x - 1 (N ä r m a n t a r b o r t p a r a t e n e s v a ?) \frac{2 h}{h} \Rightarrow 2 ?$

Nej, de ska multipliceras, alltså $(2 x + 2 h + 1) (2 x + 1) = 2 x (2 x + 2 h + 1) + 1 (2 x + 2 h + 1)$

$\frac{4 x^{2} + 4 x h + 2 x + 2 x + 2 h + 1}{h}$
$4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 3$

Jag blir inte klok.

$(2 x + 1) (2 x + 2 h + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 4 x h + 2 h + 1$ , kan du nu?

Aa, det är ju så långt jag kommer, men sen ska jag väl dividera det med h?

Och då får jag min andra ekvation.

din ekvation ser nu ut såhär $\frac{\frac{(2 x - 1) - (2 x + 2 h + 1)}{4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 2 h + 1}}{h}$ , divisions regeln är $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}$

Vad hittar du (2x-1)-(2x+2h+1)?

skrev fel, det ska vara 2x+1, från $\frac{1}{2 x + 2 h + 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{2 x + 1}{(2 x + 2 h + 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x + 2 h + 1}{(2 x + 2 h + 1) (2 x + 1)} = \frac{(2 x + 1) - (2 x + 2 h + 1)}{4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 2 h + 1}$ , du kan förenkla täljaren

Blev en lättnadens suck! :D

Det är bara subtrahera täljarna?

$\frac{2 h + 2}{4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 2 h + 1} \Rightarrow \frac{2}{4 x^{2} + 4 x h + 4 x}$ ?

ja, men $2 x + 1 - (2 x + 2 h + 1) \neq 2 h + 2$ och du måste komma ihåg att ha med hela nämnaren ( du har glömt efter pilen)

Glömmer inte bort utan jag tar bort 2h i täljare och nämnare samt 1 går i 2, 2 gånger.

Men okej!

$2 x + 1 - (2 x + 2 h + 1) = 2 x - 2 x + 1 - 1 - 2 h = - 2 h ?$

Jonfi skrev:
Glömmer inte bort utan jag tar bort 2h i täljare och nämnare samt 1 går i 2, 2 gånger.
Men okej!
$2 x + 1 - (2 x + 2 h + 1) = 2 x - 2 x + 1 - 1 - 2 h = - 2 h ?$

Då använder du några divisionsregler som inte fungerar. Du kan inte få ettan att försvinna så.

Laguna skrev:
Jonfi skrev:
Glömmer inte bort utan jag tar bort 2h i täljare och nämnare samt 1 går i 2, 2 gånger.
Men okej!
$2 x + 1 - (2 x + 2 h + 1) = 2 x - 2 x + 1 - 1 - 2 h = - 2 h ?$
Då använder du några divisionsregler som inte fungerar. Du kan inte få ettan att försvinna så.

-2h är rätt.

$\frac{- 2 h}{4 x^{2} + 4 x h + 2 h + 1}$ Nu tänker jag att jag ska faktorisera, men jag undrar vad jag gör med -2h ?

$\frac{\frac{- 2 h}{4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 2 h + 1}}{h} = \frac{- 2 h}{h (4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 2 h + 1)}$

God morgon!

Förkortar nu bägge led med h. För det måste jag få göra va?

$\frac{- 2}{4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 2 h + 1}$

Ser fortfarande inte vad jag ska göra som nästa steg? Det känns som det är för många variabler kvar för jag kan ju inte riktigt faktorisera ännu.

Nu kan du låta $h$ gå mot 0 utan att det sker någon katastrof. Vad blir det kvar av uttrycket?

$\frac{- 2}{4 x^{2} + 4 x h + 4 x + 2 h + 1} \lim_{h \to 0} \Rightarrow \frac{- 2}{4 x^{2} + 0 + 4 x + 0 + 1} \Rightarrow \frac{- 2}{4 x^{2} + 4 x + 1} \Rightarrow \frac{- 2}{(2 x + 1)^{2}}$

Är detta i sin sista form?

Ja. Svaret är $f'(x)=\frac{-2}{(2x+2)^2}$ .

Vill tacka er allihopa!

Svara

Visa senaste svar