Bestäm med hjälp av derivatans definition

Ja, du kan inte subtrahera bråk på det sättet. Det du gör är som om du skulle räkna $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1$, vilket ju inte stämmer!

Du måste skriva dem med samma nämnare först:

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3*1}{3*2}-\frac{1*2}{3*2}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}$

alltså

$\frac{1}{2(x+h)+1}-\frac{1}{2x+1}=\frac{{\displaystyle 2x+1}}{{\displaystyle \left(2\right(x+h)+1)(2x+1)}}-\frac{{\displaystyle 2(x+h)+1}}{{\displaystyle \left(2\right(x+h)+1)(2x+1)}}$ och så vidare...

Eftersom jag är ny här så har jag inte lärt mig verktygen för att skriva ut uträkningen ordentligt. Men som du skriver först är samma som jag tänkt. Men förstår inte riktigt hur du menar med och så vidare? Hur ska jag fortsätta där då?

När du har samma nämnare kan du skriva täljaren på samma bråkstreck:

$\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3-2}{6}$

Se även här hur man gör:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/addition-och-subtraktion-av-brak

Okej, men förstår ändå inte hur jag går vidare...

Hej

Visa hur långt du har kommit och beskriv vad du inte förstår! Det blir lättare för både oss och för dig då.

$\frac{2(x+h)+1}{\left(2\right(x+h)+1)(2x+1)}$

Hur fortsätter jag här?

Jättebra att du använder formelskrivaren!

 Hur ser uttrycket $\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ ut när du har satt in att $f\left(x\right) = \frac{1}{2x+1}$? I uttrycket som SvanteR skrev är inte h i nämnaren med.

ne jag vill ju ha det till så jag skrev i inledningen. Men det var ju fel om jag förstod det rätt. Men jag vill alltså ha delat med h under min uträkning..

Du behöver sätta in uttrycket för f(x) i uttrycket $\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ för att kunna komma vidare. SvanteR har hjälpt dig en bit på vägen, men du behöver ta nästa steg själv.

mandaizs skrev :

$\frac{2(x+h)+1}{\left(2\right(x+h)+1)(2x+1)}$

Hur fortsätter jag här?

Hej.

Du har fått fel på täljaren.

Eftersom du inte visar hur du räknar är det svårt att peka ut var felet ligger.

----- Lösningsförslag ------

Differenskvoten du ska arbeta med är $D=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Om $f(x)=\frac{1}{2x+1}$ så är $f(x+h)=\frac{1}{2(x+h)+1}=\frac{1}{2x+2h+1}$

Vi börjar med att enbart titta på differenskvotens täljare, Jag kallar den T:

 $T=f(x+h)-f(x)=\frac{1}{2x+2h+1}-\frac{1}{2x+1}$

Gemensam nämnare:

$T=\frac{(2x+1)-(2x+2h+1)}{(2x+1)(2x+2h+1)}$

Förenkla:

$T=\frac{-2h}{4x^2+4xh+4x+2h+1}$

Sätt in i differenskvoten D:

$D=\frac{(\frac{-2h}{4x^2+4xh+4x+2h+1})}{h}$

Förkorta bort h:

$D=\frac{-2}{4x^2+4xh+4x+2h+1}$

Låt h gå mot 0:

$D=\frac{-2}{4x^2+4x+1}$

Faktorisera nämmaren:

$D=\frac{-2}{(2x+1)^2}$

Klart.

Okej jag tänker uppenbarligen fel. Men förstår inte hur du får 4x^2 och 4x ifrån?

mandaizs skrev :

Okej jag tänker uppenbarligen fel. Men förstår inte hur du får 4x^2 och 4x ifrån?

Multiplicera ihop parenteserna i nämnaren:

$(2x+1)(2x+2h+1)=4x^2+4xh+2x+2x+2h+1$