Bestäm med central diff.kvot f'(2) med 5 korrekta decimaler då f(x)=2x*3^-x

När jag räknar $\frac{2*2,00005*3^{-2,00005} -2*1,99995*3^{-1,99995} }{0,00010}$

på min räknare (App:en HIPER Calc Pro), så får jag -0,26605

Vet inte om det är rätt, men jag får inte error.

Spontant (jag har ingen räknare till hands) tycker jag att du inte borde behöva så litet h för att få noggrannhet på 5 dec. Prova med h = 0,01 och h = 0,001 och se hur mycket resultaten diffar. (Du kan ju köra Richardsonextrapolation, men det kanske ni inte talat om.)

Nu kollade jag med en gammal mobil

Först tror jag det lönar sig att skriva om. Det sparar ofta arbete.

f(x) = 2x / 3^x

Sedan tog jag [f(2+h) – f(2-h)] / (2h)

h = 0,05 gav        –0,2596

h = 0,005             –0,2660490

h = 0,0005          –0,2660498

h = 0,00005       –0,266049905

så f’(2) = –0,26605 känns ganska tryggt.

Sedan kan man i nattens mörker derivera för att få facit

f’(2) = (2–ln 81)/9 ≈ –0,26604990607

Mogens skrev:

Spontant (jag har ingen räknare till hands) tycker jag att du inte borde behöva så litet h för att få noggrannhet på 5 dec. Prova med h = 0,01 och h = 0,001 och se hur mycket resultaten diffar. (Du kan ju köra Richardsonextrapolation, men det kanske ni inte talat om.)

Richardsonextrapolation är inget man brukar lära sig på gymnasiet.

Nej, det har du såklart rätt i, Richardson blir bara en tom algoritm utan Taylorutveckling.

Men om man vill att uppgiften ska ge något utöver tillfredsställelsen att kunna gå vidare till nästa uppgift, så tycker jag den kan bli litet spännande:

h                 [f(2+h) – f(2-h)] / (2h)        Differens

0,05            –0,265 960 145 02

                                                                      –0.000 088 864

0,005         –0,266 049 008 93

                                                                      –0,000 000 888

0,0005       –0,266 049 897 10

Vi ser att när h ändras med faktorn 0,1 så ändras differensen med en faktor 0,01.
Man måste ha ett väldigt kallt hjärta för att inte bli nyfiken… Vad händer om vi tar h gånger en tiondel igen – kommer i så fall den nya uppskattningen att bli

–0,266 049 897 10 – 0,000 000 008 88 = –0,266 049 905 98 ?

Suspense!

h                         Skattning

0,00005            –0,266 049 905 98(5)         TADA!!!

Richardson eller ej – detta tycker jag absolut borde finnas med i skolans matematikkurser; tänket att felet i uppskattningen kan vara proportionellt mot h i kvadrat, h i kubik, …

Många använder sina otroligt avancerade räknare för att skriva 1/12 = 0,083 och slippa bråkräkning. Räknarna är som gjorda för den här typen av undersökningar – undersökningar som dessutom kan vara spännande för många elever. Och det är inte bara siffror, utan ligger en hel del matematik under ytan.

jag testade lägga in h = 0,01

fick avrundningen till:

-0,26569

fel? rätt?

förresten hur vet man vilket värde på h man ska sätta in? eller är det valfritt? (hur vet man vilket som ger rätt svar?)