Bestäm matrisen för den linjära avbildningen F

Jag ska lösa en uppgift som lyder:

”Bestäm matrisen för den linjära avbildningen F i rummet som definieras av att u först speglas i planet genom origo som spänns upp av vektorerna $\vec{v_{1}} = (1, 0, 1)$ och $\vec{v_{2}} = (0, 1, 0)$ och sedan projiceras på planet $2 x - y - 2 z = 0 .$ ”

Min första tanke var att börja med att bestämma ekvationen för planet som spänns upp av $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ .

Har ni några bra råd om hur jag börjar lösa uppgiften för övrigt?

För att hitta standardmatrisen A till F, kan du undersöka vad som händer med enhetsvektorerna när de transformeras av F, alltså $A = [\begin{matrix} | \\ F (e_{1}) \\ | \end{matrix} \begin{matrix} | \\ F (e_{2}) \\ | \end{matrix} \begin{matrix} | \\ F (e_{3}) \\ | \end{matrix}]$ . Att hitta ekvationen till planet är en bra start. Kom ihåg att speglingen i ett plan kan beräknas som $v_{s p e g l i n g} = v - 2 \cdot p r o j_{p l a n e t} (v)$ . :)

Jag antar att jag först ska bestämma ekvationen för ett plan i rummet?

För jag ska ju börja med att bestämma ekvationen för planet genom origo, som spänns upp av vektor 1( 1, 0, 1) och vektor 2 (0, 1, 0).

Jag har hittat ett kapitel i häftet ”Analytisk geometri” som vi har som kurslitteratur på Matematik I, där jag tror jag kan få vägledning.

Lisa Mårtensson skrev:
För jag ska ju börja med att bestämma ekvationen för planet genom origo, som spänns upp av vektor 1( 1, 0, 1) och vektor 2 (0, 1, 0).

Först vill jag bestämma ekvationen för planet som spänns upp av $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ på formen

Ax + By + Cz + D = 0, där (A, B, C) är en normalvektor till planet.

Normalvektorn ges av att de två tredimensionella vektorerna kryssmultipliceras så att vi får en kryssprodukt,

$\vec{n} = \vec{v_{1}} x$ $\vec{v_{2}}$ , där x står för kryssmultiplikation. Vi har alltså att

$\vec{n}$ = (1, 0, 1) x (0, 1, 0),

vilket även kan uttryckas som

$[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] x [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ .

och vi har då normalvektorn $\vec{n}$ = (-1, 0, 1).

Jag har nu två vektorer som spänner upp ett plan i rummet. Jag vet att planet går genom origo. Jag har även funnit en normalvektor till de båda vektorerna.

Jag vill nu använda normalvektorn (A, B, C) för att beräkna planets ekvation.

Hur kommer man vidare?

Vi ska nu använda normalvektorn (A, B, C) för att beräkna planets normalekvation. Vi vet att $\vec{v_{1}}$ = (1, 0, 1) och $\vec{v_{2}}$ = (0, 1, 0) ligger i planet och att $\vec{n}$ = (−1, 0, 1). Normalvektorn är vinkelrät mot både $\vec{v_{1}}$ och $\vec{v_{2}}$ , så vi har alltså att planets ekvation är på formen

−x + 0y + z + D = 0.

Vi har en given punkt P = (0, 0, 0), i origo och vi vet att denna punkt tillhör planet. Sätter vi in dessa nollor i ekvationen i stället för x, y och z får vi att D = 0 och planets ekvation kan därför skrivas

−x + z = 0.

Har jag tänkt rätt?

Smutstvätt skrev:
För att hitta standardmatrisen A till F, kan du undersöka vad som händer med enhetsvektorerna när de transformeras av F, alltså $A = [\begin{matrix} | \\ F (e_{1}) \\ | \end{matrix} \begin{matrix} | \\ F (e_{2}) \\ | \end{matrix} \begin{matrix} | \\ F (e_{3}) \\ | \end{matrix}]$ . Att hitta ekvationen till planet är en bra start. Kom ihåg att speglingen i ett plan kan beräknas som $v_{s p e g l i n g} = v - 2 \cdot p r o j_{p l a n e t} (v)$ . :)

Jag har förstått det som att speglingen i ett plan kan beräknas som

$v_{s p e g l i n g} = v - 2 \cdot \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{{|\vec{n}|}^{2}} \cdot \vec{n}$

där man antingen kan räkna ut detta för vardera av $\vec{v} = {\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2} o c h {\vec{e}}_{3}$ eller så gör man det för en allmän $\vec{v} = (x, y, z) .$

Svara

Visa senaste svar