Bestäm matrisen A' för T i denna bas

Transformationslagen för matrisen ges av

A’ = P_E->E’AP_E’->E.

Där P_E’->E = $\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$.

Du beräknar AP_E->E’.

PATENTERAMERA skrev:

Transformationslagen för matrisen ges av

A’ = P_E->E’AP_E’->E.

Där P_E’->E = $\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$.

Du beräknar AP_E->E’.

Jag hänger ej med på vad P är här? Lite rörigt när du skriver E ==> Eoch tvärtom

P_A->B är basbytesmatrien från basen A till basen B.

Här är E standardbasen och E’ den nya ortonormerade basen.

PATENTERAMERA skrev:

P_A->B är basbytesmatrien från basen A till basen B.

Här är E standardbasen och E’ den nya ortonormerade basen.

Men vi har den ortonormerade basen och vi har matrisen A. Vi ska gå från A till E'? 

Sorry skulle inte använt A för att beteckna en bas. Glöm det.

P_E->E’ är basbytesmatris från standardbasen E till nya basen E’.

P_E’->E är basbytesmatris från E’ till E.

I detta fall - ON-baser - så gäller det att P_E->E’ = (P_E’->E)^T.

Kolonnerna i P_E’->E ges av koordinaterna för vektorerna i basen E’ relativt standardbasen E.

P_E’->E = [[e’₁]_E [e’₂]_E].

Här betecknar [v]_E en kolonnvektor med vektorn v:s koordinater relativt standardbasen E.

PATENTERAMERA skrev:

Sorry skulle inte använt A för att beteckna en bas. Glöm det.

P_E->E’ är basbytesmatris från standardbasen E till nya basen E’.

P_E’->E är basbytesmatris från E’ till E.

I detta fall - ON-baser - så gäller det att P_E->E’ = (P_E’->E)^T.

Kolonnerna i P_E’->E ges av koordinaterna för vektorerna i basen E’ relativt standardbasen E.

P_E’->E = [[e’₁]_E [e’₂]_E].

Här betecknar [v]_E en kolonnvektor med vektorn v:s koordinater relativt standardbasen E.

Okej jag förstår. Så för att hitta A' i basen E'  så behöver man invertera A och mutliplicera med PE==>E'?

Du behöver inte invertera A.

Du använder bara formeln A’ = P^TAP, där P = P_E’->E.

Jag tror att det är bäst att du läser på i lärobok eller anteckningar om hur det här fungerar, annars blir det bara formelexercis utan insikt, och då glömmer man snabbt hur det fungerar och är tillbaka på ruta 1.

PATENTERAMERA skrev:

Du behöver inte invertera A.

Du använder bara formeln A’ = P^TAP, där P = P_E’->E.

Jag tror att det är bäst att du läser på i lärobok eller anteckningar om hur det här fungerar, annars blir det bara formelexercis utan insikt, och då glömmer man snabbt hur det fungerar och är tillbaka på ruta 1.

Aa okej. Ja det ska jag göra. Jag tycker sånt är klurig

PATENTERAMERA skrev:

Du behöver inte invertera A.

Du använder bara formeln A’ = P^TAP, där P = P_E’->E.

Jag tror att det är bäst att du läser på i lärobok eller anteckningar om hur det här fungerar, annars blir det bara formelexercis utan insikt, och då glömmer man snabbt hur det fungerar och är tillbaka på ruta 1.

Ja precis vi har att basbytematrisen är koordinaterna i basen e .Och matrisen A:s koordinater är i basen e då det sker basbyte från standardbasen till standardbasen. Vi söker nu A' i basen e'

Ja,

A’ = $\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right]$$·$$\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]·$$\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

Ja,

A’ = $\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right]$$·$$\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]·$$\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$.

Varför kan man ej invertera basbytematrisen eller ta dess transponat och sen multiplicera med A för att få A'? Vidare så vet man att P^-1*P=I så det blir det ju I*A?

Vi tog transponatet till basbytesmatrisen. Eftersom vi hade att göra med ON-baser så är detta samma sak som att invertera basbytesmatrisen. I ett allmänt fall så får du invertera.

ON-baser.

A’ = P^TAP.

Generellt.

A’ = P^-1AP.

Tänk på att matrismultiplikation vanligen inte kommuterar. Så du kan inte skriva om P^-1AP som P^-1PA = IA = A.

PATENTERAMERA skrev:

Vi tog transponatet till basbytesmatrisen. Eftersom vi hade att göra med ON-baser så är detta samma sak som att invertera basbytesmatrisen. I ett allmänt fall så får du invertera.

ON-baser.

A’ = P^TAP.

Generellt.

A’ = P^-1AP.

Tänk på att matrismultiplikation vanligen inte kommuterar. Så du kan inte skriva om P^-1AP som P^-1PA = IA = A.

Aa jo jag vet.  Men P^-1*P=I enligt räknereglerna för matris så jag håller med om att P^-1AP inte är samma sak som P^-1PA. Det jag menade var att allmänt P^-1*P=I och då kan man skriva IA. Men i detta fall går det nog ej enligt avbildningsmatrisformelm som är på det här sättet P^-1*A*P

Precis.