Bestäm matris A

Ja, stämmer. Mer konkret har du två vektorer som ska avbildas på två vektorer

$P_1$ ska avbildas på $P_2$

$\vec{u}$ ska avbildas på $\vec{v}$

Där $\vec{u}$ och $\vec{v}$ är respektive linjes riktningsvektor.

Det ger dig 6 ekvationer. Men matrisen för avbildningen innehåller 9 element (okända).

Du behöver därför tre ekvationer till, eller trixa lite. En "brute-force" metod är att bilda kryssprodukten. Eftersom en ortogonal avbildning är vinkelbevarande måste

$p1\times\vec{u}$ avbildas på $\pm p2\times \vec{v}$

Nu har du nio ekvationer och nio okända, därmed kan du ställa upp systemet på matrisform och invertera en 3x3-matris för att erhålla den sökta matrisen A.

En alternativ (och smartare men konceptuellt mer krävande) metod är att utnyttja As egenskaper, t.ex. är determinanten $\pm 1$ och varje kolonn är vinkelrät mot varje annan kolonn. Om determinten är $+1$ är det en rotation. Om determinanten är $-1$ är det en rotation följt av en spegling i origo.

D4NIEL skrev:

Ja, stämmer. Mer konkret har du två vektorer som ska avbildas på två vektorer

$P_1$ ska avbildas på $P_2$

$\vec{u}$ ska avbildas på $\vec{v}$

Där $\vec{u}$ och $\vec{v}$ är respektive linjes riktningsvektor.

Det ger dig 6 ekvationer. Men matrisen för avbildningen innehåller 9 element (okända).

Du behöver därför tre ekvationer till, eller trixa lite. En "brute-force" metod är att bilda kryssprodukten. Eftersom en ortogonal avbildning är vinkelbevarande måste

$p1\times\vec{u}$ avbildas på $\pm p2\times \vec{v}$

Nu har du nio ekvationer och nio okända, därmed kan du ställa upp systemet på matrisform och invertera en 3x3-matris för att erhålla den sökta matrisen A.

En alternativ (och smartare men konceptuellt mer krävande) metod är att utnyttja As egenskaper, t.ex. är determinanten $\pm 1$ och varje kolonn är vinkelrät mot varje annan kolonn. Om determinten är $+1$ är det en rotation. Om determinanten är $-1$ är det en rotation följt av en spegling i origo.

Hej!

Nu hänger jag inte med. Så vi har alltså

• A(P1)=P2
• A(L1)=L2? Där l1 och L2 är riktningsvektorerna för vardera linjer

Ja, just det!

A(P1)=P2 ger dig tre ekvationer

A(L1)=L2 ger dig tre ekvationer

Sen behöver du tre ekvationer till (till exempel normering, ortogonalitet eller kryssprodukt)

D4NIEL skrev:

Ja, just det!

A(P1)=P2 ger dig tre ekvationer

A(L1)=L2 ger dig tre ekvationer

Sen behöver du tre ekvationer till.

Hm uppgiften säger att ortogonal matris så vi behöver använda gram schmidt på P1 och P2 . Jag vet ej vad du menar med 3 ekvationer?

Matrisen A innehåller 9 okända element.

Varje känd transformation ger dig tre ekvationer (x,y,z-led)

Du behöver inte använda gram schmidt, men du om du vill kan du se det som ett basbyte, där du ska uttrycka den "nya basen" i den gamla. Om du normerar blir det mycket enklare att invertera matrisen.

D4NIEL skrev:

Matrisen A innehåller 9 okända element.

Varje känd transformation ger dig tre ekvationer (x,y,z-led)

Du behöver inte använda gram schmidt, men du om du vill kan du se det som ett basbyte, där du ska uttrycka den "nya basen" i den gamla. Om du normerar blir det mycket enklare att invertera matrisen.

Hm jaha så matrisen är typ A=(a , b, c, d,e,f,g,h,j)?

Om jag normerar P1 och P2?  Hur ska jag uttrycka P1 i A menar du i basbyte?

Du har två ortogonala basvektorer ($p_1$ och $L_1$), om du vill kan du normera dem.

Skapa en tredje basvektor som är vinkelrät mot de två övriga (till exempel $c_1=p_1\times L_1$ eller genom Gram Schidmt).

Låt sedan matrisen $M=(p_1,L_1, c)$ och skapa matrisen $B=(p_2,L_2, c_2)$

Då har du systemet

$AM=B$

Och den sökta matrisen ges av

$A=BM^{-1}$

Om du normerar och arbetar med ortogonala matriser kan du använda att $M^{-1}=M^T$

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

D4NIEL skrev:

Du har två ortogonala basvektorer ($p_1$ och $L_1$), om du vill kan du normera dem.

Skapa en tredje basvektor som är vinkelrät mot de två övriga (till exempel $c_1=p_1\times L_1$ eller genom Gram Schidmt).

Låt sedan matrisen $M=(p_1,L_1, c)$ och skapa matrisen $B=(p_2,L_2, c_2)$

Då har du systemet

$AM=B$

Och den sökta matrisen ges av

$A=BM^{-1}$

Om du normerar och arbetar med ortogonala matriser kan du använda att $M^{-1}=M^T$

Yes

Det blev såhär. Men istället för att räkna ut  M^-1 kan man använda M^T=M^-1?

jag och facit har olika svar.

Matris $M$ ser bra ut, förutom att den ska vara transponerad.

$M=\left(\begin{array}{ccc} \frac{4}{9} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{9} & 2 & -1 \\ -\frac{1}{9} & 2 & 1 \end{array}\right)$

Matris $B$ bör se ut så här

$B=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -1 & -\frac{4}{3} \\ -\frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \end{array}\right)$

Och slutligen blir

$A=BM^{-1}=\frac19 \left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 1 \\ -1 & 4 & -8 \\ -4 & 7 & 4 \end{array}\right)$

Facit har fått svaret $A^T$ (alternativt uttryckt $A$ i fel bas) vilket inte ger en korrekt transformation ty $A^Tp_1\neq p_2$. Rätt är ovanstående matris $A$ (som inte är unik, men som uppfyller $Ap_1=p_2$).

Om du vill använda att transponatet är inversen måste du först se till att dina matriser är ortogonala (det påverkar såväl M som B).

D4NIEL skrev:

Matris $M$ ser bra ut, förutom att den ska vara transponerad.

$M=\left(\begin{array}{ccc} \frac{4}{9} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{9} & 2 & -1 \\ -\frac{1}{9} & 2 & 1 \end{array}\right)$

Matris $B$ bör se ut så här

$B=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -1 & -\frac{4}{3} \\ -\frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \end{array}\right)$

Och slutligen blir

$A=BM^{-1}=\frac19 \left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 1 \\ -1 & 4 & -8 \\ -4 & 7 & 4 \end{array}\right)$

Facit har fått svaret $A^T$ (alternativt uttryckt $A$ i fel bas) vilket inte ger en korrekt transformation ty $A^Tp_1\neq p_2$. Rätt är ovanstående matris $A$ (som inte är unik, men som uppfyller $Ap_1=p_2$).

Om du vill använda att transponatet är inversen måste du först se till att dina matriser är ortogonala (det påverkar såväl M som B).

Aa juste jag gjorde fel på transponeringen på matrisen M. Men jag förstår inte varför vi ska transponera matris B dock, du sa att M^-1=M^T

Att transponatet är lika med inversen gäller bara ortogonala matriser

För att få använda $M^{-1}=M^T$ måste vi först se till att $M$ blir ortogonal.

Annars måste vi invertera $M$ på vanligt vis.

Man kan göra $M$ ortogonal genom att normalisera $p_1, L_1, c_1$, men då måste vi även ändra värden på $p_2,L_2,c_2$.

D4NIEL skrev:

Att transponatet är lika med inversen gäller bara ortogonala matriser

För att få använda $M^{-1}=M^T$ måste vi först se till att $M$ blir ortogonal.

Annars måste vi invertera $M$ på vanligt vis.

Man kan göra $M$ ortogonal genom att normalisera $p_1, L_1, c_1$, men då måste vi även ändra värden på $p_2,L_2,c_2$.

Ja okej men M är ortogonal (skalärprodukten mellan vektorerna är 0). Jag förstår dock inte varför B är B^T i din lösning för även B är ortogonal,men jag använde inte B^-1=B^T

$M$ är inte ortogonal i min lösning. För att den ska vara ortogonal räcker det inte med att skalärprodukten är noll mellan kolonnvektorerna. De måste också ha längden 1 (vara normaliserade).

$B$ ska vara matrisen vars kolonner innehåller de transformerade vektorerna.

Första kolonnen ska vara $p_2$ som ju är $p_2=Ap_1$, andra kolonnen ska vara $L_2$ som ju är $L_2=AL_1$ och så vidare.

D4NIEL skrev:

$M$ är inte ortogonal i min lösning. För att den ska vara ortogonal räcker det inte med att skalärprodukten är noll mellan kolonnvektorerna. De måste också ha längden 1 (vara normaliserade).

$B$ ska vara matrisen vars kolonner innehåller de transformerade vektorerna.

Första kolonnen ska vara $p_2$ som ju är $p_2=Ap_1$, andra kolonnen ska vara $L_2$ som ju är $L_2=AL_1$ och så vidare.

Men det var väl det jag gjorde för att få fram matrisen B enligt instruktionerna du gav i #8. Min matris B är bara inte transponerad,men jag får ändå inte samma svar på sökta matris A som dig i #10 

Jag tror du la dem åt andra hållet. Med beteckningen $B=[p_2,L_2, c_2]$ menar man att första kolonnen består av vektorn $p_2$, andra kolonnen består av $L_2$ och tredje kolonnen består av $c_2$.

Matris B ska alltså vara

$B=\frac13\left(\begin{array}{ccc} 1 & 6 & -1 \\ 0 & -3 & -4 \\ -1 & 6 & -1 \end{array}\right)$

D4NIEL skrev:

Jag tror du la dem åt andra hållet. Med beteckningen $B=[p_2,L_2, c_2]$ menar man att första kolonnen består av vektorn $p_2$, andra kolonnen består av $L_2$ och tredje kolonnen består av $c_2$.

Matris B ska alltså vara

$B=\frac13\left(\begin{array}{ccc} 1 & 6 & -1 \\ 0 & -3 & -4 \\ -1 & 6 & -1 \end{array}\right)$

Jahaa det var så du menade. Så för M är första kolonen p1 och andra kolonen L1 och tredje kolonen c1 på samma sätt som matris B? Jag skrev dem inte i den ordningen utan rader 

destiny99 skrev:

D4NIEL skrev:

Jag tror du la dem åt andra hållet. Med beteckningen $B=[p_2,L_2, c_2]$ menar man att första kolonnen består av vektorn $p_2$, andra kolonnen består av $L_2$ och tredje kolonnen består av $c_2$.

Matris B ska alltså vara

$B=\frac13\left(\begin{array}{ccc} 1 & 6 & -1 \\ 0 & -3 & -4 \\ -1 & 6 & -1 \end{array}\right)$

Jahaa det var så du menade. Så för M är första kolonen p1 och andra kolonen L1 och tredje kolonen c1 på samma sätt som matris B? Jag skrev dem inte i den ordningen utan rader 

Ja det stämmer. jag tror du vände på det + det blev något galet där, kontrollräkna :)

Sen får du bestämma dig för om du vill normalisera matriserna (för att göra inverteringen enkel) eller invertera matrisen. Räknar du med dator/miniräknare är det såklart enklast att bara invertera $M$ och utföra $BM^{-1}]$

D4NIEL skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

D4NIEL skrev:

Jag tror du la dem åt andra hållet. Med beteckningen $B=[p_2,L_2, c_2]$ menar man att första kolonnen består av vektorn $p_2$, andra kolonnen består av $L_2$ och tredje kolonnen består av $c_2$.

Matris B ska alltså vara

$B=\frac13\left(\begin{array}{ccc} 1 & 6 & -1 \\ 0 & -3 & -4 \\ -1 & 6 & -1 \end{array}\right)$

Jahaa det var så du menade. Så för M är första kolonen p1 och andra kolonen L1 och tredje kolonen c1 på samma sätt som matris B? Jag skrev dem inte i den ordningen utan rader 

Ja det stämmer. jag tror du vände på det + det blev något galet där, kontrollräkna :)

Sen får du bestämma dig för om du vill normalisera matriserna (för att göra inverteringen enkel) eller invertera matrisen. Räknar du med dator/miniräknare är det såklart enklast att bara invertera $M$ och utföra $BM^{-1}]$

Aa okej. Ska kontrollräkna!  Ja jag tror jag kör A= B *M^T som jag gjorde tidigare. Det funkar va?

Ja, men då måste du först se till 2 saker för både $M$och $B$

1. Att kolonnerna har längden 1 (det är de inte just nu!)

2. Att kolonnerna är ortogonala (det är de!)

D4NIEL skrev:

Ja, men då måste du först se till 2 saker för både $M$och $B$

1. Att kolonnerna har längden 1 (det är de inte just nu!)

2. Att kolonnerna är ortogonala (det är de!)

Nu har du glömt att invertera matrisen $M$?

$M=\left(\begin{array}{ccc} \frac{4}{9} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{9} & 2 & -1 \\ -\frac{1}{9} & 2 & 1 \end{array}\right)$

$M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)$

D4NIEL skrev:

Nu har du glömt att invertera matrisen $M$?

$M=\left(\begin{array}{ccc} \frac{4}{9} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{9} & 2 & -1 \\ -\frac{1}{9} & 2 & 1 \end{array}\right)$

$M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)$

Vad hände med M^-1=M^T? Jag vet inte om det är meningen att använda den eller inte. 

Om du vill använda $M^{-1}=M^T$ måste du räkna i en normerad bas, annars blir inte matriserna ortogonala.

En matris är ortogonal om

1. Kolonnerna är inbördes ortogonala
2. Kolonnerna är normerade

Om man normerar $M$ måste man också normera $B$ eftersom avbildningen bevarar längden av vektorerna.

Om vi normerar $B$ och $M$ får vi:

$\bar{M}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\quad \bar{B}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \left(2 \sqrt{2}\right) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \end{array}\right)$

Nu kan vi beräkna matrisen $A$ genom att använda transponatet

$A=\bar{B}\bar{M}^{-1}=\bar{B}\bar{M}^T=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \left(2 \sqrt{2}\right) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)=\frac19\left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 1 \\ -1 & 4 & -8 \\ -4 & 7 & 4 \end{array}\right)$

D4NIEL skrev:

Om du vill använda $M^{-1}=M^T$ måste du räkna i en normerad bas, annars blir inte matriserna ortogonala.

En matris är ortogonal om

1. Kolonnerna är inbördes ortogonala
2. Kolonnerna är normerade

Om man normerar $M$ måste man också normera $B$ eftersom avbildningen bevarar längden av vektorerna.

Om vi normerar $B$ och $M$ får vi:

$\bar{M}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\quad \bar{B}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \left(2 \sqrt{2}\right) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \end{array}\right)$

Nu kan vi beräkna matrisen $A$ genom att använda transponatet

$A=\bar{B}\bar{M}^{-1}=\bar{B}\bar{M}^T=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \left(2 \sqrt{2}\right) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)=\frac19\left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 1 \\ -1 & 4 & -8 \\ -4 & 7 & 4 \end{array}\right)$

Ok då är jag med. Hade det funkat att först invertera M och sen ta dess transponat och sen multiplicera B som den är med M?

Jag tror undrar om det hade fungerat att först normera M och sedan bilda $BM^T$.

Det hade inte fungerat, orsaken är att $M$ består av kolonnerna $M=[p_1,L_1,c_1]$ som ska avbildas på $B=[p_2,L_2,c_2]$

Om du ändrar längden på till exempel $p_1$ till $p_1/n$ så avbildas den istället på

$A(p_1/n)=p_2/n$

eftersom avbildningen behåller längden på vektorn du avbildar, är du med?

Så om du normerar alla kolonner i $M$ måste du också normera alla kolonner i $B$.

D4NIEL skrev:

Jag tror undrar om det hade fungerat att först normera M och sedan bilda $BM^T$.

Det hade inte fungerat, orsaken är att $M$ består av kolonnerna $M=[p_1,L_1,c_1]$ som ska avbildas på $B=[p_2,L_2,c_2]$

Om du ändrar längden på till exempel $p_1$ till $p_1/n$ så avbildas den istället på

$A(p_1/n)=p_2/n$

eftersom avbildningen behåller längden på vektorn du avbildar, är du med?

Så om du normerar alla kolonner i $M$ måste du också normera alla kolonner i $B$.

Min fråga var mer om jag inte hade normerat M eller B  överhuvudtaget , utan inverterar M som vanligt och sen multiplikation med matrisen B utan att blanda in transponat (om man ej kommer på detta) som man gör i linjär algebra? M är ju 3×3 matris och man kan köra gausliminering med identitetsmatrisen för att söka efter inverterade matris M.

Javisst, så kan du göra, men då måste du använda inversen, inte transponatet:

$A=BM^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -1 & -\frac{4}{3} \\ -\frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 2 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)=\frac19\left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 1 \\ -1 & 4 & -8 \\ -4 & 7 & 4 \end{array}\right)$

D4NIEL skrev:

Javisst, så kan du göra, men då måste du använda inversen, inte transponatet:

$A=BM^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -1 & -\frac{4}{3} \\ -\frac{1}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 2 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)=\frac19\left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 1 \\ -1 & 4 & -8 \\ -4 & 7 & 4 \end{array}\right)$

Ok vad bra. Transponatet gäller alltså enbart om B och M är ortogonala och normerade som jag förstått det?