Bestäm m.h.a partiell integration

Hur har du gjort för att bestämma integralen ${\int }_{}^{}{x}^2\frac{1}{2\sqrt{1+x}}dx$? :)

Smutstvätt skrev:

Hur har du gjort för att bestämma integralen ${\int }_{}^{}{x}^2\frac{1}{2\sqrt{1+x}}dx$? :)

Kolla på min bild.  Använde partiell integration bara. Misstänker att det är fel faktiskt ..

Använde du partiell integration igen på det uttrycket? Du har nämligen en variabel i nämnaren, så det går tyvärr inte att bara integrera täljaren. 

Hur har du resonerat när du valde vad som är $f$ respektive $g$ i formeln för partiell integration? :)

Smutstvätt skrev:

Använde du partiell integration igen på det uttrycket? Du har nämligen en variabel i nämnaren, så det går tyvärr inte att bara integrera täljaren. 

Hur har du resonerat när du valde vad som är $f$ respektive $g$ i formeln för partiell integration? :)

f är x och g är sqrt(1+x)

Nu har jag såhär

Jag förstår inte riktigt hur du räknar, tyvärr. :( 

f är x och g är sqrt(1+x)

Varför har du gjort just detta val? Varför inte tvärtom?

Smutstvätt skrev:

Jag förstår inte riktigt hur du räknar, tyvärr. :( 

f är x och g är sqrt(1+x)

Varför har du gjort just detta val? Varför inte tvärtom?

Jag vet ej ,jag bara gjorde detta val

Okej, när det gäller partiell integration är det ofta viktigt att vara noggrann med vad som sätts som f' respektive g. Det är ofta svårt att veta, så därför kan det vara bra att prova de alternativ som finns, och se vad vi får för integral som behöver beräknas. 

Om vi sätter $f'(x)=x$ och $g(x)=\sqrt{1+x}$, får vi $f(x)=\frac{x^2}{2}+c$ och $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$. 

Om vi sätter in dessa värden i formeln för partiell integration, behöver vi, som du skrivit i trådstarten, beräkna integralen $\int \frac{x^2}{2}·\frac{1}{2\sqrt{1+x}} dx$, vilket är ganska knepigt. Det är därför värt att undersöka vad som händer om vi byter f och g. 

Om vi sätter $f'(x)=\sqrt{1+x}$ och $g(x)=x$ måste vi förvisso integrera $\sqrt{1+x}$ till uttrycket $fg$, men den andra integralen blir $\int 1·\sqrt{1+x}dx$. Vi behöver alltså bara beräkna en betydligt enklare integral.

Det går att göra som du har gjort, men det blir en mycket krångligare integral att beräkna, än om vi sätter $f'(x)=x$ och $g(x)=\sqrt{1+x}$.

Smutstvätt skrev:

Okej, när det gäller partiell integration är det ofta viktigt att vara noggrann med vad som sätts som f' respektive g. Det är ofta svårt att veta, så därför kan det vara bra att prova de alternativ som finns, och se vad vi får för integral som behöver beräknas. 

Om vi sätter $f'(x)=x$ och $g(x)=\sqrt{1+x}$, får vi $f(x)=\frac{x^2}{2}+c$ och $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$. 

Om vi sätter in dessa värden i formeln för partiell integration, behöver vi, som du skrivit i trådstarten, beräkna integralen $\int \frac{x^2}{2}·\frac{1}{2\sqrt{1+x}} dx$, vilket är ganska knepigt. Det är därför värt att undersöka vad som händer om vi byter f och g. 

Om vi sätter $f'(x)=\sqrt{1+x}$ och $g(x)=x$ måste vi förvisso integrera $\sqrt{1+x}$ till uttrycket $fg$, men den andra integralen blir $\int 1·\sqrt{1+x}dx$. Vi behöver alltså bara beräkna en betydligt enklare integral.

 

Det går att göra som du har gjort, men det blir en mycket krångligare integral att beräkna, än om vi sätter $f'(x)=x$ och $g(x)=\sqrt{1+x}$.

Okej då är det bättre att integrera sqrt(1+x) och derivera x istället 

Japp!

Om man låter $u=x+1$ (inlägg #2, men verkar saknas en faktor 1/2 från TS) så är integralen faktiskt ganska snäll, det blir polynom som går att integrera med den normala formeln för integrering av polynom på form $x^n$ och mha linjäriteten av integraler.

Dock ska du verkligen ta till dig av Smutstvätts råd. Du vill inte bara köra på. Börja alltid med att fundera om något är vidrigt att derivera eller integrera. Om du kan derivera bort något som x etc kanske det är värt det om det andra inte är hemskt att integrera.