Bestäm lutningen i punkten (0,p)

Står det i uppgiften att det är en andragradsfunktion? Finns det någon bild som hör till?

Om det är en andragradsfunktion kan den skrivas på formen:

$y=k(x-x_1)(x-x_2)$

och $k$ kan bestämmas m.h.a. punkten $(0,p)$, vilket ger:

$k=f(p)$

Enpunktsformeln är användbar:

$y-y_1=k(x-x_1)$

Det är en andragradsfunktion.

tomast80, så jag kan skriva y=k(x-2)(x-4)
y=k(x^2-6x+8)
Och i punkten (0,p) så är X = 0. Vilket då blir y = 8k

Freemind skrev:

tomast80, så jag kan skriva y=k(x-2)(x-4)
y=k(x^2-6x+8)
Och i punkten (0,p) så är X = 0. Vilket då blir y = 8k

Bra. Du har också kommit fram till att f'(0) = b när du skriver f(x) = ax² + bx + c. Vad blir b med din formel k(x-2)(x-4)?

Laguna skrev:

Freemind skrev:

tomast80, så jag kan skriva y=k(x-2)(x-4)
y=k(x^2-6x+8)
Och i punkten (0,p) så är X = 0. Vilket då blir y = 8k

Bra. Du har också kommit fram till att f'(0) = b när du skriver f(x) = ax² + bx + c. Vad blir b med din formel k(x-2)(x-4)?

Jag vet inte hur jag ska lägga in b i den uträkningen. 

Freemind skrev:

Laguna skrev:

Visa föregående citat

Freemind skrev:

tomast80, så jag kan skriva y=k(x-2)(x-4)
y=k(x^2-6x+8)
Och i punkten (0,p) så är X = 0. Vilket då blir y = 8k

Bra. Du har också kommit fram till att f'(0) = b när du skriver f(x) = ax² + bx + c. Vad blir b med din formel k(x-2)(x-4)?

Jag vet inte hur jag ska lägga in b i den uträkningen. 

Utveckla k(x-2)(x-4) så att parenteserna försvinner.

Hej!

Du har funktionen $f(x) = ax^2+bx+c$ där $-\infty<x<\infty$ och du vet följande saker om funktionen.

1. Funktionens graf har nollställe $x=2.$ Det betyder att $4a+2b+c=0.$
2. Funktionens graf har nollställe $x=4.$ Det betyder att $16a+4b+c=0.$
3. Funktionens graf skär y-axeln i punkten $(0,p)$. Det betyder att $c=p.$

Dessa tre ekvationer bestämmer de tre obekanta koefficienterna $a$ och $b$ och $c.$

Funktionens tangent i punkten $(0,p)$ har lutningen $f'(0) = b.$ Då du vet koefficienten $b$ från beräkningen ovan kan du besvara frågan om tangenten.

Var borta en stund från uppgiften och kom tillbaka. 

y=k(x^2-6x+8) ser väldigt lik ut y=ax^2+xb+c. 
Så jag tänker att, kan man lägga in värdena från den ena till den andra? Tillexempel att C är = 8. 
Och eftersom x^2 är ensamt så är a = 1. och b är = -6? Då stämmer båda uträkningarna som Albiki skrev, för då blir båda = 0.
Så då är f´(0) = -6 . 

Och om Albiki säger att p = c, så när x är 0, så är y värdet 8.  

Så hur går jag nu tillväga när jag vill bestämma lutningen för punkten (0,8)? 

Känner mig jätte kass på grafer. Många andra saker inom matte är jag bra på, men grafer är min svaghet.

Edit: Tänkte om jag går tillbaka till y = k(x-x1)(x-x2) Och sätter in värdet y = 8. 8 = k(0-2)(0-4)
Detta fick jag till då att 8 = k(8). Så då är k = 1. 

Skulle då svaret på frågan "Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p" vara att k = 1? 

Många andra saker inom matte är jag bra på, men grafer är min svaghet.

Då finns det bara två saker att göra: Rita och träna. Grafer är en nödvändighet.

aa när jag får tiden så ska jag se till att göra det. 
Svårt när yrket är i vägen samtidigt och det kommer nya saker att plugga hela tiden. Men jag uppskattar all hjälp jag får här. 

Vill bara slutligen veta, har jag tänkt rätt i slutändan eller är det något jag gjort fel? 

Albiki skrev:

Hej!

Du har funktionen $f(x) = ax^2+bx+c$ där $-\infty<x<\infty$ och du vet följande saker om funktionen.

1. Funktionens graf har nollställe $x=2.$ Det betyder att $4a+2b+c=0.$
2. Funktionens graf har nollställe $x=4.$ Det betyder att $16a+4b+c=0.$
3. Funktionens graf skär y-axeln i punkten $(0,p)$. Det betyder att $c=p.$

Dessa tre ekvationer bestämmer de tre obekanta koefficienterna $a$ och $b$ och $c.$

Funktionens tangent i punkten $(0,p)$ har lutningen $f'(0) = b.$ Då du vet koefficienten $b$ från beräkningen ovan kan du besvara frågan om tangenten.

Subtrahera Ekvation 1 från Ekvation 2 för att få ekvationen

    $\displaystyle 16a-4a+4b-2b+c-c=0 \iff 12a+2b=0.$

Du vet nu att $2b = -12a$ och kan sätta in detta i Ekvation 1 som tillsammans med $c=p$ talar om för dig vad koefficienten $a$ är uttryckt i parametern $p$.

    $\displaystyle 4a+2b+c=0\iff 4a-12a+p=0 \iff p=8a \iff a=p/8.$ 

Sätt in detta i ekvationen $12a+2b=0$ för att få koefficienten $b$ uttryckt i parametern $p.$

    $12a+2b=0\iff 6a+b=0 \iff 6p/8 + b = 0 \iff 3p/4+b=0 \iff b=-3p/4$.

Du borde ha börjat med att skriva av frågan ord för ord (eller ta en bild) så att vi slipper gissa.

Vi vet tydligen att det är en andragradsfunktion nollställena x=2 och x=4. Detta ger oss andragradsfunktionen y=k(x-2)(x-4)=kx²-6kx+8k.

Vi vet också att kurvan skär y-axeln i punkten (p,0).Det innebär att p=k0²-6k0+8k = 8k. Vad är k, om du vet p?

Edit: Tänkte om jag går tillbaka till y = k(x-x1)(x-x2) Och sätter in värdet y = 8. 8 = k(0-2)(0-4)
Detta fick jag till då att 8 = k(8). Så då är k = 1.

Varför valde du just att p = 8? Vad händer om du väljer andra värden på p? Undersök!

Skulle då svaret på frågan "Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p" vara att k = 1?

Nej, inte för alla värden på p.

Har du deriverat funktionen? Vad blev derivatan?

Smaragdalena skrev:

Du borde ha börjat med att skriva av frågan ord för ord (eller ta en bild) så att vi slipper gissa.

Vi vet tydligen att det är en andragradsfunktion nollställena x=2 och x=4. Detta ger oss andragradsfunktionen y=k(x-2)(x-4)=kx²-6kx+8k.

Vi vet också att kurvan skär y-axeln i punkten (p,0).Det innebär att p=k0²-6k0+8k = 8k. Vad är k, om du vet p?

Edit: Tänkte om jag går tillbaka till y = k(x-x1)(x-x2) Och sätter in värdet y = 8. 8 = k(0-2)(0-4)
Detta fick jag till då att 8 = k(8). Så då är k = 1.

Varför valde du just att p = 8? Vad händer om du väljer andra värden på p? Undersök!

Skulle då svaret på frågan "Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p" vara att k = 1?

Nej, inte för alla värden på p.

Har du deriverat funktionen? Vad blev derivatan?

Jag gick utefter det Albiki sa om att c = p . Då ax^2 + bx + c = p . Och eftersom uträkningen y = k (x^2 - 6x + 8) ser lik ut den andra. Men att man har gett A B C värdena som står innan X . Tillexempel att b är -6 (står inget innan x^2, så jag utgick ifrån att a = 1) Sedan att C är 8. Så fick jag uträkningen då X är 0. 1*0-6*0+8 = 8 . Sedan om X är andra värden, tex X är 2, så blir svaret  på y = 0. Och om vi då får att P = 8 då X är 0, så borde uträkningen se ut såhär 8 = k(0^2 -6*0 + 8) 8=8k och sen 8/8 = k k = 1.

Derivatan på y = ax^2+bx + c. Är f´(0) = b . Om jag ovan då fått fram att b = -6 så är f´(0) = -6 . Skulle jag ta ett annat värde på p så fungerar inte uträkningen. Tex om p är 5 (slumpmässigt nummer) x = 0.  5 = 1*0^2 -6*0+8, detta skulle bli hel tokigt isåfall. 

Uppgiften: Grafen har nollställena x1=2 och x2=4. Grafen skär Y-axeln i punkten (0,p).

Anta att vi drar en tangent till grafen i punkten (0,p). Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p.

Om du inte åstadkommer ett uttryck för vilket värde lutningen för tangenten i punkten (0,p) har som en funktion av p har du inte löst uppgiften.

Vi kan inte veta att k=1, det står inte i uppgiften. Du kan inte bara förutsätta att k=1 - du skall hitta ett uttryck som fungerar vilket värde på k vi än har. Om du läser igenom tråden, ser du att om vi har bestämt oss för ett värde på p (vilket värde som helst utom 0) så kan vi beräkna ett värde på k och använda det i de följande beräkningarna.

Freemind skrev:

Smaragdalena skrev:

Du borde ha börjat med att skriva av frågan ord för ord (eller ta en bild) så att vi slipper gissa.

Vi vet tydligen att det är en andragradsfunktion nollställena x=2 och x=4. Detta ger oss andragradsfunktionen y=k(x-2)(x-4)=kx²-6kx+8k.

Vi vet också att kurvan skär y-axeln i punkten (p,0).Det innebär att p=k0²-6k0+8k = 8k. Vad är k, om du vet p?

Visa föregående citat

Edit: Tänkte om jag går tillbaka till y = k(x-x1)(x-x2) Och sätter in värdet y = 8. 8 = k(0-2)(0-4)
Detta fick jag till då att 8 = k(8). Så då är k = 1.

Varför valde du just att p = 8? Vad händer om du väljer andra värden på p? Undersök!

Visa föregående citat

Skulle då svaret på frågan "Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p" vara att k = 1?

Nej, inte för alla värden på p.

Har du deriverat funktionen? Vad blev derivatan?

Jag gick utefter det Albiki sa om att c = p . Då ax^2 + bx + c = p . Och eftersom uträkningen y = k (x^2 - 6x + 8) ser lik ut den andra. Men att man har gett A B C värdena som står innan X . Tillexempel att b är -6 (står inget innan x^2, så jag utgick ifrån att a = 1) Sedan att C är 8. Så fick jag uträkningen då X är 0. 1*0-6*0+8 = 8 . Sedan om X är andra värden, tex X är 2, så blir svaret  på y = 0. Och om vi då får att P = 8 då X är 0, så borde uträkningen se ut såhär 8 = k(0^2 -6*0 + 8) 8=8k och sen 8/8 = k k = 1.

Derivatan på y = ax^2+bx + c. Är f´(0) = b . Om jag ovan då fått fram att b = -6 så är f´(0) = -6 . Skulle jag ta ett annat värde på p så fungerar inte uträkningen. Tex om p är 5 (slumpmässigt nummer) x = 0.  5 = 1*0^2 -6*0+8, detta skulle bli hel tokigt isåfall. 

Du kan inte välja bort värden på p. p är ett godtyckligt tal. Lösningen ska fungera för alla värden på p.

Jag missförstodd själva svaret på uppgiften så märker nu efteråt att mitt sätt att räkna på var fel och gick käpprätt åt pipan pga det. Förstår nu att det var ett uttryck jag skulle leta efter, inte ett svar att K = 1 (som jag nu då fick fram). 

Så med hur Albiki räknat på det så är då f´(0) = -6p/8 eller -3p/4 som han skrev men det är samma sak. Eftersom lutningen är    f´(0) = b. Får försöka räkna mer på sådana här uppgifter. 

Någon som har tips ifall det finns nånstans man kan hitta sådana här uppgifter som man kan träna på? Känns fel att gå ifrån denna uppgiften utan att tränat på andra. 

Jag skulle löst den enligt följande:

$y=k(x-2)(x-4)$

Går genom punkten $(0,p)$:

$p=k(0-2)(0-4)\Rightarrow$

$k=\frac{p}{8}\Rightarrow$

$y=\frac{p}{8}(x-2)(x-4)$

Derivatan ges enligt produktregeln av:

$y'(x)=\frac{p}{8}\cdot (1\cdot (x-4)+(x-2)\cdot 1)=$

$\frac{p}{8}\cdot (2x-6)=\frac{p}{4}(x-3)$

Den efterfrågade tangentens lutningen ges då av:

$y'(0)=\frac{p}{4}\cdot (-3)=-\frac{3p}{4}$