Bestäm lösningsmängden hos en olikhet genom lämpliga transformationer och teckentabell

Jag skulle vilja veta hur man löser den här frågan, lösningen är nedan, men jag förstår inte hur de kom fram till deras svar.

Om vi har två funktionen, 𝑓(𝑥) och 𝑔(𝑥), så skulle de enda värdena på (𝑥) som kommer att tillfredsställa olikheten vara då

𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)>0, där de värden för 𝑥 som uppfyller båda följande krav:

• 𝑔(𝑥)≠0. Om värdet på 𝑥 inte uppfyller detta krav är uttrycket 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) inte väldefinierat.

• Antingen är 𝑓(𝑥) och 𝑔(𝑥) båda positiva, eller så är 𝑓(𝑥) och 𝑔(𝑥) båda negativa.

Observera att även om det första punktkravet faktiskt antyds av det andra punktkravet, listade jag det separat för betoning. I det här specifika fallet är 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥−2, och 𝑔(𝑥)=(𝑥−1).

Till lösningen:

$1 . \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} > 0 \Leftrightarrow (x^{2} - x - 2 < 0 \land x - 1 < 0) \lor (x^{2} - x - 2 > 0 \land x - 1 > 0) \Leftrightarrow (- 1 < x < 2 \land x < 1) \lor ((x < - 1 \lor x > 2) \land x > 1) \Leftrightarrow - 1 < x < 1 \lor x > 2 L M = {x \in R | - 1 < x < 1 \lor x > 2} 2 . \begin{matrix} x & . . . & - 1 & . . . & 1 & . . . & 2 & . . . \\ x^{2} - x - 2 & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ x - 1 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} & - & 0 & + & n d & - & 0 & + \end{matrix} L M = {x \in R | - 1 < x < 1 \lor x > 2}$

Kan någon förenkla förklaringen? Både teckentabellen där jag har markerat i olika färger, samt där man utförde transformationer (markerat med röd)?

Det är ingen transformation som sådan, bara en omskrivning av villkoren.

Att x-1 < 0 är ju samma sak som att x < 1.
Att x-1 > 0 är ju samma sak som att x > 1.
Olikheten x²-x-2 < 0 är ju uppfylld för alla x som uppfyller -1 < x < 2
Olikheten x²2-x-2 > 0 är ju uppfylld för alla x som uppfyller x < -1 eller x > 2

Vad gäller teckentabellen så har de bara på olika rader skrivit tecknet för täljaren, nämnaren och bråket för olika relevanta x-värden och x-intervall.

Yngve skrev:
Det är ingen transformation som sådan, bara en omskrivning av villkoren.

Kan du utveckla?

Min lärare använder "ekvivalenta transformationer" för att beskriva det. Då menar han att ekvationerna, eller olikheten i detta fall, har ”ekvivalenta lösningsmängd." Han säger också att ekvivalenta transformationer är en följd av ekvivalenta påståenden, då påståenden i följden kan innehålla fler ekvationer. Påståendena har samma sanningsmängd.

Olikheten x²-x-2 < 0 är ju uppfylld för alla x som uppfyller -1 < x < 2

Du får rätta mig om jag har tänkt fel:

$x^{2} - x - 2 < 0 x^{2} + x - 2 x - 2 < 0 x (x + 1) - 2 (x + 1) < 0 (x + 1) (x - 2) < 0$

$\{\begin{cases} x + 1 < 0 \to x < - 1 \\ x - 2 > 0 \to x > 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + 1 > 0 \to x > - 1 \\ x - 2 < 0 \to x < 2 \end{cases}$

Kombinerar vi båda så får vi 2>x>-1? De initiala stegen kanske man kan anse är ekvivalenta transformationer?

I teckentabellen bör varje faktor ha sin egen rad. Att skriva hela täljaren på en enda rad är slarvigt. Skriv hellre (x-2) på en rad och (x+1) på en annan. Då blir det mycket tydligare och mindre risk att göra fel. Annars bra.

Jag rättar en hel del analystentor och det är helt otroligt hur få som klarar att göra en vettig teckentabell numera, de flesta skriver inte ens upp faktorerna över huvud taget numera utan bara en rad för f(x) och eventuellt en för f'(x). Dessa rader är ju resultatet av teckenstudien, inte själva teckenstudien. Så bara ett tips, kom ihåg att göra snygga och tydliga teckentabeller så slipper man gå miste om ganska enkla poäng på tentan.

Dani163 skrev:

Kan du utveckla?

Min lärare använder "ekvivalenta transformationer" för att beskriva det. Då menar han att ekvationerna, eller olikheten i detta fall, har ”ekvivalenta lösningsmängd." Han säger också att ekvivalenta transformationer är en följd av ekvivalenta påståenden, då påståenden i följden kan innehålla fler ekvationer. Påståendena har samma sanningsmängd.

oK bra, det var en fylligare beskrivning än bara "transformationer"

Du får rätta mig om jag har tänkt fel:

$x^{2} - x - 2 < 0 x^{2} + x - 2 x - 2 < 0 x (x + 1) - 2 (x + 1) < 0 (x + 1) (x - 2) < 0$

$\{\begin{cases} x + 1 < 0 \to x < - 1 \\ x - 2 > 0 \to x > 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + 1 > 0 \to x > - 1 \\ x - 2 < 0 \to x < 2 \end{cases}$

Kombinerar vi båda så får vi 2>x>-1? De initiala stegen kanske man kan anse är ekvivalenta transformationer?

Ja, det ser bra ut.

Svara

Visa senaste svar