Bestäm lösning till linjär differentialekvation

Upg: $(1+x^2)y\text{'} + 2xy = 2x$

$\iff y\text{'} +\frac{2xy}{1+x^2}= \frac{2x}{1+x^2}$

Hitta integrerande faktor genom integrering:

$$\begin{gathered} \int \frac{2x}{1+x^2}dx=/1+x^2=u, \frac{du}{dx}=2x \iff du = 2xdx /=\int \frac{du}{u} \\ = \ln \left|u\right| + c = \ln |1+x^2| + c = /1+x^2 > 0 / = \ln (1+x^2) +c \end{gathered}$$

IF, h, blir då: 

$h = e^{\ln (1+x^2)} = 1+x^2$

Förläng ekv med h:

$$\begin{gathered} (1+x^2)y\text{'} +\frac{2x(1+x^2)y}{1+x^2} = \frac{2(1+x^2)x}{1+x^2} \iff \\ (1+x^2)y\text{'} + 2xy = 2x \end{gathered}$$

Kontrollera IF genom derivering av hy:

$\left(hy\right)\text{'} = 2xy+(1+x^2)y\text{'}$

Deriveringen ger ovanstående VL. Sätter derivatan = ovanstående HL:

$$\begin{gathered} \left(hy\right)\text{'} = 2x \\ \Rightarrow hy = 2\int xdx = x^2 +c \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff (1+x^2)y = x^2+c \\ \iff y= \frac{x^2+c}{x^2+1} \end{gathered}$$

Facit säger dock 

$y= \frac{c}{x^2+1}+1$

Vilket jag inte ser hur det ska hänga ihop med mitt svar. Har jag gjort någon tabbe eller saknar jag något steg? Gjort uppgiften vid flera olika tillfällen nu men hamnar alltid på samma svar.