Bestäm läget som funktion av tiden (integrering)

En partikel är rörlig längs en rät linje (s-axeln). Dess acceleration beror på tiden t enligt sambandet $a = \frac{s_0}{{\left(t+t_0\right)}^2}$ där $s_0$ och $t_0$ är positiva konstanter. Partikeln passerar punkten $s = s_0$ med hastigheten $v_0$ vid tiden $t = 0$.

Bestäm

a) hastigheten

b) läget

som funktioner av tiden under den fortsatta rörelsen.

Har lite problem med uppgift b), svaret blir enligt facit fel.

a) $v = {\int }_0^{t}a\left(x\right) dx = v_0-\frac{s_0}{t+t_0}+\frac{s_0}{t_0}$ vilket enligt facit är rätt.

b) ${\int }_{s_0}^{s}ds ={\int }_0^{t}v\left(x\right) dx \Rightarrow s - s_0 = {\int }_0^{t}v\left(x\right) dx \Rightarrow s=s_0+{\int }_0^{t}v\left(x\right) dx$

Detta får jag till:  $s = s_0+{\int }_0^t{v}_0-\frac{s_0}{x+t_0}+\frac{s_0}{t_0} dx = s_0+\left(v_0+\frac{s_0}{t_0}\right)t-s_0\times \ln \left|t+t_0\right| +s_0\times \ln \left|t_0\right|$, medan det enligt facit skall vara:

 $\left(v_0+\frac{s_0}{t_0}\right)t -s_0\times \ln \left|\frac{t+t_0}{e{t}_0}\right|$.

Någon som skulle kunna berätta vad jag gjort för fel? Tack på förhand!