Bestäm koordinaterna i enhetecirkeln
Uppgiften som jag behöver veta mer för att lösa lyder: "Punkten P har koordinaterna (a, b). Bestäm koordinaterna till T, R och S i bilden. Använd sedan resultatet för att visa sambandet sin v = cos (v + 270 gr) och cos v = -sin (v + 270 gr).
Om vi börjar med punkten T så kan jag se att vinkeln är v + 90 gr stor. Punkten ligger i andra kvadranten och min första tanke var att jag skulle tolka (a, b) som (cos v, sin v), (x, y) och i så fall skulle jag svara att punkten T har koordinaterna (-a, b) eftersom cos v (a) är på minus-x-axeln och sin v (b) är på plus-y-axeln. Men svaret ska i stället enligt facit vara att punkten T har koordinaterna (-b, a). Varför har a och b bytt plats och är det fel att tolka a och b som cos v och sin v?
Punkten R har koordinaterna (-a, -b) vilket enligt mitt sätt att resonera är naturligt och stämmer även med facit.
Punkten S motsvaras av v + 270 gr och mitt svar skulle vara att punkten har koordinaterna (a, -b) eftersom cos v (a) är på plus-x-axeln och sin v (b) är på minus-y-axeln. Men lika som när det gällde punkten T så har jag här fel och det rätta svaret sa vara (b, -a).
Var är det som jag tänker fel och har ni något bra sätt att förklara den riktiga tankegången när det gäller att bestämma koordinaterna i enhetscirkeln? Eftersom den räta vinkeln är utmärkt förstår jag att den är viktig i sammanhanget.
Tack för hjälp med detta!
När du vrider figuren 90 grader moturs, så kan du se att P hamnar precis där T var i ursprungsläget. Men du ser också att x-axeln hamnar på y-axeln, och y-axeln hamnar på negativa x-axeln. Alltså: P:s x-värde är T:s y-värde, och P:s y-värde är minus T:s x-värde. Det du verkar ha missat är alltså att axlarna byter plats när du går från ena punkten till andra.
Forstätt resonera på liknande sätt för R och S.
Punkten R:s koordinater:
När jag vrider figuren hamnar P där R var i ursprungsläget. Positiva x-axeln hamnar på negativa x-axeln och positiva y-axeln på negativa y-axeln.
Alltså P:s x-värde är R:s negativa x-värde och P:s y-värde är R:s negativa y-värde. Man kan säga att koordinaterna byter tecken från (a, b) till (-a, -b).
Punkten S:s koordinater:
När jag vrider figuren hamnar P där S var i ursprungsläget. P:s positiva x-axel hamnar på negativa y-axeln och P:s positiva y-axel hamnar på positiva x-axeln.
Alltså P:s x-värde blir S:s negativa y-värde, dvs . P:s y-värde blir S:s positiva x-värde, dvs .
Punkten S:s koordinater är således (b, -a)
Så har vi sambandet som skulle förklaras också: att sin v = cos (v + 270 gr) och cos v = -sin (v + 270 gr).
Det blir också lätt att förstå nu när jag vet att jag ska vrida figuren och att axlarna då byter plats.
Om v motsvarar P, gäller att v + 270 grader motsvarar S. Då har vi att sin v = b = cos (v + 270 grader) och att cos v = a = -sin (v + 270 grader).
