Bestäm konvergensradien för potensserien

Jag kan inte ge ett annat tips än att det rör sig om mönsterigenkänning i detta fall. Vi kan enkelt se att talen i serien är:

$\frac{3^0}{1^2}{x}^0+\frac{3^1}{2^2}{x}^1+\frac{3^2}{3^2}{x}^2+\frac{3^3}{4^2}{x}^3+\frac{3^4}{5^2}{x}^4+...$

Okej, tack för snabbt svar

antar att jag får jobba på att se mönster helt  enkelt.

Det är bra om man blir vän med alla tal under 100, speciellt dem med särskilda egenskaper som att de är kvadrater eller kuber. Då känner man igen 27, 81, 16 och 25. Jag har inte gått igenom alla de talen, men en del träffar man på ofta.

Men annars kan man alltid vara systematisk och primtalsfaktorisera alla konstanter man ser.

(Skulle det vara t.ex. kuber + 1 så blir inte det bra, men då fungerar inte det direkta igenkännandet lika bra heller.)

För det mesta är det bra att förkorta bråk så mycket som möjligt, men just i det här fallet hade mönstret varit mycket lättare att se om koefficienten för x²-termen hade varit skriven som $\frac{9}{9}$.

Okej

tack återigen för snabba och givande svar. Tror jag börjar förstå hur det ligger till :)

Hej,

Noterar att nämnarna är kvadrater: $1^2, 2^2, 4^2$ och $5^2$; nämnaren för $x^2$ är okänd, men bör vara $3^2$ för att passa in i mönstret.

Noterar att täljarna är tre-potenser: $3^0, 3^1, 3^3$ och $3^4$; täljaren för $x^2$ är okänd, men bör vara $3^2$ och detta passar in i både täljar-mönstret och nämnar-mönstret, vilket är en stark indikation till förekomsten av ett mönster.

Men: Serien behöver inte följa detta mönster!

Nästa term i serien skulle mycket väl kunna vara $1269x^6$ (exempelvis) vilket inte alls följer mönstret som vi tror oss ha funnit.

Slutsats: Uppgiften är mycket dåligt formulerad.

Den korrekta formuleringen hade skrivit hur seriens koefficienter $a_k$ beror på antingen $k$ eller på tidigare (eller kommande) koefficienter, alltså på en form som du själv önskade. 

Albiki skrev:

Men: Serien behöver inte följa detta mönster!

Nästa term i serien skulle mycket väl kunna vara $1269x^6$ (exempelvis) vilket inte alls följer mönstret som vi tror oss ha funnit.

Slutsats: Uppgiften är mycket dåligt formulerad.

Den korrekta formuleringen hade skrivit hur seriens koefficienter $a_k$ beror på antingen $k$ eller på tidigare (eller kommande) koefficienter, alltså på en form som du själv önskade. 

Att kunna identifiera mönster och hitta generella termer för serier är en mycket viktig färdighet. Jag skulle väldigt gärna vilja veta hur du tycker frågan skulle vara formulerad för att möjliggöra ett test av denna färdighet. Jag ser det som ytterst självklart i en kurs för envariabelanalys att om jag har följden 1 + 2 + 3 + 5 + ... implicerar detta att nästa term är 6.

Att hävda något annat är möjligtvis av intresse inom strikt teoretisk matematik men ointressant i ett sammanhang som ska tentera specifika färdigheter där det är underförstått vilken typ av serier som diskuteras.

Ebola skrev:

Albiki skrev:

Men: Serien behöver inte följa detta mönster!

Nästa term i serien skulle mycket väl kunna vara $1269x^6$ (exempelvis) vilket inte alls följer mönstret som vi tror oss ha funnit.

Slutsats: Uppgiften är mycket dåligt formulerad.

Den korrekta formuleringen hade skrivit hur seriens koefficienter $a_k$ beror på antingen $k$ eller på tidigare (eller kommande) koefficienter, alltså på en form som du själv önskade. 

Att kunna identifiera mönster och hitta generella termer för serier är en mycket viktig färdighet. Jag skulle väldigt gärna vilja veta hur du tycker frågan skulle vara formulerad för att möjliggöra ett test av denna färdighet. Jag ser det som ytterst självklart i en kurs för envariabelanalys att om jag har följden 1 + 2 + 3 + 5 + ... implicerar detta att nästa term är 6.

Att hävda något annat är möjligtvis av intresse inom strikt teoretisk matematik men ointressant i ett sammanhang som ska tentera specifika färdigheter där det är underförstått vilken typ av serier som diskuteras.

Du glömde 4, eller hur? Annars väntar jag mig att nästa term är 8.

Laguna skrev:

Du glömde 4, eller hur? Annars väntar jag mig att nästa term är 8.

Givetvis.