Bestäm allmänna lösningen

Prova med c = 2 istället för -2. 

Tack098 skrev :

Uppgiften jag försöker lösa lyder som följer:

"Differentialekvationen y''' - 2y'' + y' -2y = 0 har en lösning y=e^(2x). Bestäm den allmänna lösningen."

Jag tänkte att jag skulle skriva om ekvationen enligt nedan:

r^3 - 2r^2 + r - 2 = 0

=> (r-a)(r-b)(r-c) = 0

Därefter kunde jag skriva att c=-2 eftersom en lösning var e^(2x) och lösningar kan ges enligt y=K*e^(-ax), i det här fallet var K=1 och -a=2 => a=-2.

Då tänkte jag att jag kunde skriva som nedan och sedan utveckla det.

(r-a)(r-b)(r+2) = 0

Efter att jag hade utvecklat och förenklat det fick jag:

r^3 + (2-a-b)r^2 + (a*b-2*a-2*b)r + 2*a*b = 0 

Jag drog sedan tre slutsatser utifrån det:

1. 2-a-b = -2   =>   a+b = 4
2. a*b-2*a-2*b = 1
3. 2*a*b = -2   =>   a*b = -1

Men längre än så kom jag inte och vet inte hur jag ska göra. Vore jättebra om någon hade några tips eller hjälp.

Tacksam för svar.

 Om c=-2 så ska du alltså kunna sätta in r=-2 i ursprungliga tredjegradspolynomet och få det lika med 0. Det blir det inte. Däremot om c=2 så funkar det, kolla upp vad man gör när man löser ut r från karakteristiska polynomet, de ska inte byta tecken.

När du nu vet att c=2 kan du stoppa in det som du gjort. Kanske får du då lite enklare att lösa när du har rätt c, men jag skulle råda en annan lösningsgång:

Försök att behålla faktorn (r-2), så dela det ursprungliga tredjegradspolynomet med r-2 (liggande stolen). Då kan du använda nollproduktmetoden för att lösa a och b.