Bestäm konstanten k i ekvationssystem (Matematik/Matte 4/Grafer och asymptoter)

Vad har f(2) för värde (enligt översta raden)?

Om x närmar sig 2 från höger skall (x) närma sig detta tal - pröva om det går att sätta in x = 2 i funktionen på andra raden och se vilket värde k måste ha för att funktionsvärdet ekall bli lika med f(2) enligt övre raden. Om det inte funkar kan behöva fundera på gränsvärden, men jag tror inte det behövs den här gången.

Känner du till definitionen av att en funktion är kontinuerlig? Det är ju uppenbarligen punkten x=2 det handlar om -- ställ upp ett uttryck som beskriver skillnaden mellan $f (x + \in)$ och $f (x - \in)$ vid punkten x=2 och plocka fram ett villkor för att skillnaden kan göras godtyckligt liten genom att välja $\in$ tillräckligt litet och se om det finns något k som uppfyller det kravet.

PeBo skrev :
Känner du till definitionen av att en funktion är kontinuerlig? Det är ju uppenbarligen punkten x=2 det handlar om -- ställ upp ett uttryck som beskriver skillnaden mellan $f (x + \in)$ och $f (x - \in)$ vid punkten x=2 och plocka fram ett villkor för att skillnaden kan göras godtyckligt liten genom att välja $\in$ tillräckligt litet och se om det finns något k som uppfyller det kravet.

Varför är det uppenbart?

Smaragdalena skrev :
Vad har f(2) för värde (enligt översta raden)?
Om x närmar sig 2 från höger skall (x) närma sig detta tal - pröva om det går att sätta in x = 2 i funktionen på andra raden och se vilket värde k måste ha för att funktionsvärdet ekall bli lika med f(2) enligt övre raden. Om det inte funkar kan behöva fundera på gränsvärden, men jag tror inte det behövs den här gången.

Ok! Så:

k-4=0

k>=4

Stämmer det här?

Nja, du skall hitta ett värde på k, inte ett intervall. Och du skriver så lite att jag inte kan hänga med på hur du har tänkt.

Vad har f(2) för värde?

Smaragdalena skrev :
Nja, du skall hitta ett värde på k, inte ett intervall. Och du skriver så lite att jag inte kan hänga med på hur du har tänkt.
Vad har f(2) för värde?

om x = 2;

2^2 = 4

k - 4 = 0

k = 4, tänkte jag

lemattis skrev :
Varför är det uppenbart?

Om man ritar upp funktionerna till höger om 2 och till vänster om 2 så ser man att de var för sig är sammanhängande (kontinuerliga), men funktionen hänger bara ihop i punkten 2 om k har valts på rätt sätt. Du måste förstås välja något k för att rita funktionen, men gör det -- välj några k som känns som "the usual suspects", dvs 0, 1, -1, 2, 4 etc, och så tittar du efter och ser hur sammanhängande kurvan är. För k=1 kan du se att hoppet från blå till röd kurva vid 2 inte är sammanhängande utan har ett steg där.

För x<2 är funktionen kontinuerlig och för x>2 är den också kontinuerlig. Definitionen av att en funktion är kontinuerlig (vilket är en egenskap den har i varje punkt) är att man för tillräckligt små skillnader i x kan få så liten skillnad i funktionens värde som man vill. Enkelt uttryckt att $f (x + ε) - f (x - ε)$ kan göras pyttelitet bara man väljer tillräckligt små värden på $ε$ .

Den vänstra funktionen har värdet 4 för x=2, och den högra funktionen närmar sig värdet k-4 då x närmar sig 2 från höger. Om du kräver att funktionen ska hänga ihop där så måste k-4 vara lika med 4, dvs k är 8.

Du kan också använda den mer formella definitionen, men jag är osäker på om det är överkurs för din nivå. Skillnaden i funktionens värde runt punkten 2 beskrivs av

$f (x + ε) - f (x - ε) = k - (x + ε)^{2} - (x - ε)^{2} = k - (x^{2} - 2 ε + ε^{2}) - (x^{2} + 2 ε + ε^{2}) = k - 2 x^{2} - 2 ε^{2}$

och med x=2 har man $k - 8 - 2 ε^{2}$ . Det kan göras godtyckligt litet genom att välja ett litet $ε$ bara då k=8.

PeBo skrev :
lemattis skrev :
Varför är det uppenbart?
Om man ritar upp funktionerna till höger om 2 och till vänster om 2 så ser man att de var för sig är sammanhängande (kontinuerliga), men funktionen hänger bara ihop i punkten 2 om k har valts på rätt sätt. Du måste förstås välja något k för att rita funktionen, men gör det -- välj några k som känns som "the usual suspects", dvs 0, 1, -1, 2, 4 etc, och så tittar du efter och ser hur sammanhängande kurvan är. För k=1 kan du se att hoppet från blå till röd kurva vid 2 inte är sammanhängande utan har ett steg där.
För x<2 är funktionen kontinuerlig och för x>2 är den också kontinuerlig. Definitionen av att en funktion är kontinuerlig (vilket är en egenskap den har i varje punkt) är att man för tillräckligt små skillnader i x kan få så liten skillnad i funktionens värde som man vill. Enkelt uttryckt att $f (x + ε) - f (x - ε)$ kan göras pyttelitet bara man väljer tillräckligt små värden på $ε$ .
Den vänstra funktionen har värdet 4 för x=2, och den högra funktionen närmar sig värdet k-4 då x närmar sig 2 från höger. Om du kräver att funktionen ska hänga ihop där så måste k-4 vara lika med 4, dvs k är 8.
Du kan också använda den mer formella definitionen, men jag är osäker på om det är överkurs för din nivå. Skillnaden i funktionens värde runt punkten 2 beskrivs av
$f (x + ε) - f (x - ε) = k - (x + ε)^{2} - (x - ε)^{2} = k - (x^{2} - 2 ε + ε^{2}) - (x^{2} + 2 ε + ε^{2}) = k - 2 x^{2} - 2 ε^{2}$
och med x=2 har man $k - 8 - 2 ε^{2}$ . Det kan göras godtyckligt litet genom att välja ett litet $ε$ bara då k=8.

Ok, men kan man inte räkna ut k så här då?

(2;4) ger:

k - 2^2 = 4

k = 8

Jag tror du har förstått... :)

Det du inte säger (men vet) då är att för x>2 närmar man sig värdet 4 från höger, så man måste välja k så att funktionen blir 4 i x=2 också. Känns det rätt?

Det är ju exakt vad @Smaragdalena säger i sitt första svar.