Bestäm konstanten a

Hej, jag har försökt lösa denna uppgiften men jag kommer till slut inte till ett precis svar tror jag. Här är uppgiften och min lösning under:

Bestäm konstanten a så att: y = e^-x*sin(ax) är en lösning till differentialekvationen: y´´ + 2y´ + 5y = 0

y' = -e^-x*sin(ax) + e^-x*a*cos(ax) = e^-x(a*cos(ax) - sin(ax))
y'' = e^-x*(sin(ax) - 2a*cos(ax) - a²*sin(ax))

e^-x*(sin(ax) - 2a*cos(ax) - a²*sin(ax)) + 2e^-x*(a*cos(ax) - sin(ax)) + 5e^-x*sin(ax) = 0
e^-x[sin(ax) - 2acos(ax) - a²sin(ax) + 2acos(ax) - 2sin(ax) + 5sin(ax)] = 0
e^-x[4sin(ax) - a²sin(ax)] = 0

e^-x =/= 0

4sin(ax) - a²sin(ax) = 0
(4 - a²)*sin(ax) = 0

4 - a² = 0
a = ± 2

sin(ax) = 0
ax = pi*n
a = (pi*n)/x

Jag har alltså fått fram att a = ± 2, men den sista delen sin(ax) = 0 kan man inte få fram... eller? Hur förklarar man det? Räknar man inte den delen för någon anledning? Tack på förhand!

Sin(ax) = 0 för alla x om a = 0.

Frågan säger att att man ska bestämma konstanten a inte x

Om a = 0 så är sin(ax) = 0, oberoende av vilket värde x har.

I övrigt har jag inte kontrollerat dina uträkningar.

Alltså a = 0 är en av lösningarna?

Ja, för om a = 0 så är y = e^-x•sin(0).= e^-x•0 = 0, vilket ger att y' = y'' = 0 och att diffekvationen därmed är uppfylld.

Men sin(ax) är också lika med noll för alla ax = pi*n ellerhur?

Ja, det stämmer.

Så

a₁ = 0
a₂ = 2
a₃ = -2
a₄ = pi*n/x

Eller?

Enligt facit så är svaren endast a₁ = 2 och a₂ = -2

a ska vara en konstant, vilket gör att lösningen som beror av x måste förkastas.

Lösningen a = 0 är en s.k. "trivial" lösning i det avseendet att den innebär att y = y' = y'' = 0, dvs att y är en konstant funktion som inte beror av x.

Om det inte finns någon mer information eller begränsningar avseende funktionen y så tycker jag att a = 0 är en giltig lösning.

Kan du ladda upp en bild av uppgiften?

Det finns alltså två variationer på uppgiften, den som jag först skrev i första inlägget och sen denna variationen, är det någon skillnad på deras lösningar?

De enda skillnader jag ser är att

i ditt ursprungsinlägg står det att a är en konstant men i bilden på uppgiften står det att a är ett reellt tal. Denna skillnad har ingen praktisk betydelse i det här fallet.
i ditt ursprungsinlägg står det sin(ax) men i bilden på uppgiften står det sin ax. Denna skillnad har inte heller någon praktisk betydelse eftersom de säkerligen menar just sin(ax) som du har skrivit.

Jag tycker att a = 0 är en fullt giltig lösning till båda varianterna och att de alltså har missat den i facit.

Hmmm okej. Och a = pi*n/x är varken en konstant eller reellt tal, så man bryr inte sig om den

Mussen skrev:
Hmmm okej. Och a = pi*n/x är varken en konstant eller reellt tal, så man bryr inte sig om den

Jo, om x är reellt så är även pi*n/x ett reellt tal, men det är inte en konstant.

(Du tänker nog på rationellt tal.)

Jahaaa Okej! Tack så mycket Yngve :)

Svara

Visa senaste svar