Bestäm konstanten a

"Bestäm konstanten a så att

$\underset{x\to 0}{\lim } \frac{e^x-\cos x+\ln (1+ax)}{x^2}$

existerar, samt bestäm gränsvärdet"

Jag har kommit fram till detta;
$$\begin{gathered} e^x ger 1+x+\frac{x^2}{2}+\theta x^3 \\ \cos x ger 1-\frac{x^2}{2}+\theta x4 \end{gathered}$$

Därefter vet jag inte hur jag ska göra med ln(1+ax). I lösningsförslaget har dom skrivit;
$1+x+\frac{x^2}{2}+\theta x^3-(1-\frac{x^2}{2})+ax-\frac{{\left(ax\right)}^2}{2}$

Jag ser inte hur dom kommer fram till dom två sista delarna.
Dessutom undrar jag över resttermerna. Behöver man inte ta med resttermerna för alla eller räcker det bara med en?