Bestäm koefficienten framför x^9 och x^10 med hjälp av binomialsatsen

Man ska bestämma koefficienten framför $x^{9}$ och koefficienten framför $x^{10}$ i utvecklingen av $(\frac{1}{x^{4}} + x)^{30}$ .

Svaret behöver inte ges på uträknad form.

Man ska använda binomialsatsen.

Jag har ett exempel som liknar detta och då är det koefficienterna framför $x^{8}$ och $x^{10}$ som ska bestämmas i utvecklingen av $(\frac{1}{x} + x^{2})^{22}$ . Det finns ett lösningsförslag på det senare exemplet i min bok, men det går inte att göra på precis samma sätt tycker jag när man har $x^{4}$ i nämnaren i första termen.

Jag kan skriva ut lösningsförslaget här, så får ni titta på det.

Men kom gärna med något tips redan nu om hur jag ska lösa den första uppgiften.

Sätt att exponenten är lika med k för den ena termen. Då är termen 30 - k för den andra termen. För tillfället kan vi strunta i alla koefficienter, eftersom vi bara vill hitta rätt k. Vi undersöker:

${(\frac{1}{x^{4}})}^{k} \cdot x^{30 - k} = \frac{x^{30 - k}}{x^{4 k}} = x^{30 - 5 k}$ . Kommer du vidare då?

Enligt Binomialsatsen kan binomet $(x^{-4}+x)^{30}$ skrivas som summan

$\displaystyle\sum_{k=0}^{30}{30 \choose k}(x^{-4})^{k}x^{30-k} = \sum_{k=0}^{30}{30 \choose k}x^{30-5k}.$

Du är intresserad av binomialkoefficienten ${30\choose k}$ där $x^{30-5k}$ är $x^{9}$ respektive $x^{10}.$

Jag tycker den andra uppgiften är likartad. Vad är det som gör att det inte fungerar för den här?

Här kommer svar till Smutstvätt och Albiki:

Ja, jag kommer vidare därifrån.

Jag sätter $x^{9} = x^{30 - 5 k}$ .

Då ska 9=30-5k och vi har att k= $\frac{21}{5}$ . Eftersom ekvationen saknar heltalslösningar så är koefficienten framför $x^{9}$ noll.

Jag sätter sedan $x^{10} = x^{30 - 5 k}$ .

Då ska 10=30-5k och vi har att k=4. Koefficienten framför $x^{10}$ är alltså $(\begin{matrix} 30 \\ 4 \end{matrix})$ .

Svar till Laguna:

Jag tyckte att $\frac{1}{x^{4}}$ var svår att hantera och skrev inte om den termen till $x^{- 4}$ , vilket jag förstås borde ha gjort. Jag var också osäker på vilken term som ska ha exponenten k och vilken term som ska ha exponenten 30-k.

Smutstvätt skrev:
Sätt att exponenten är lika med k för den ena termen. Då är termen 30 - k för den andra termen. För tillfället kan vi strunta i alla koefficienter, eftersom vi bara vill hitta rätt k. Vi undersöker:
${(\frac{1}{x^{4}})}^{k} \cdot x^{30 - k} = \frac{x^{30 - k}}{x^{4 k}} = x^{30 - 5 k}$ . Kommer du vidare då?

Hur kommer det sig att man går från att addera $\frac{1}{x^{4}} + x$ till att multiplicera $\frac{1}{x^{4}} \cdot x$ ?

Jag kan svara på min egen fråga nedan om varför man går från addition till multiplikation. Det är för att man använder binomialsatsen.

Hur kommer det sig att man går från att addera $\frac{1}{x^{4}} + x$ till att multiplicera $\frac{1}{x^{4}} \cdot x$ ?

Lisa Mårtensson skrev:

Då ska 9=30-5k och vi har att k= $\frac{21}{5}$ . Eftersom ekvationen saknar heltalslösningar så är koefficienten framför $x^{9}$ noll.

---

Varför är det så att när ekvationen saknar heltalslösningar så är koefficienten framför $x^{9}$ noll?

Eftersom alla tal n och k i binomialsatsen är heltal. Vi kan inte få till termen 21/5, eftersom det inte är ett heltal.

Svara

Visa senaste svar