Bestäm koefficienten framför x^50 i polynomet

Hej!

Jag har problem med följande uppgift:

Problemet är egentligen inte själva uppgiften men svaret som finns i facit. Det är nämligen så att mitt resonemang är att den första x^50 kommer ha koefficienten $(\begin{matrix} 1000 \\ 50 \end{matrix})$ (binomialsatsen). Därefter eftersom nästa term är ${(x + 1)}^{999} x$ så blir koefficienten här istället $(\begin{matrix} 999 \\ 49 \end{matrix})$ (binomialsatsen + att vi multiplicerar med x i slutet).

Gör man du detta för att x ända tills ${(x + 1)}^{950} x^{50}$ så får man en summa som ser ut på följande sätt:

${\sum (\begin{matrix} 1000 - k \\ 50 - k \end{matrix})}_{k = 0}^{50}$

Denna summa var då mitt svar (vilket tekniskt sätt var korrekt) men de har i facit skrivit detta på formen $(\begin{matrix} 1001 \\ 50 \end{matrix})$ .

Min fråga är då hur jag kan komma från min summa till svaret i facit.

Tack på förhand! :)

$(\begin{matrix} 1000 \\ 50 \end{matrix})$ och $(\begin{matrix} 1001 \\ 50 \end{matrix})$ är ju två helt olika tal, så det kan inte vara så att facit har skrivit fel?

MathematicsDEF skrev:
$(\begin{matrix} 1000 \\ 50 \end{matrix})$ och $(\begin{matrix} 1001 \\ 50 \end{matrix})$ är ju två helt olika tal, så det kan inte vara så att facit har skrivit fel?

Ursäkta om jag inte var tydlig med vad vad koefficienten var men det är alltså summan $\sum_{k = 0}^{50}$ $(\begin{matrix} 1000 - k \\ 50 - k \end{matrix})$ som är koefficienten.

Använd formeln:

aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + … + b^n-1).

Sätt a = 1 + x, b = x och n = 1001.

PATENTERAMERA skrev:
Använd formeln:

aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + … + b^n-1).

Sätt a = 1 + x, b = x och n = 1001.

Är detta typ en mer allmän konjugatregel? Jag tror inte jag sett denna formel förrut

Ja, man kan se den som en generalisering av konjugatregeln. Den är lätt att visa genom att multiplicera i hop parenteserna i HL. Den brukade läras ut i gymnasiet förr i tiden, men jag tror den tagits bort nu.

Svara

Visa senaste svar