Bestäm koefficienten framför x^2 i utveckling av (2x^2 − 3/x)^12!

Hej!

Som titlen säger så ska jag lösa den här uppgiften,

Bestäm koefficienten framför x^6 i utveckling av (2x^2 − 3/x)^12. Enligt facit så kommer svaret bli: $(\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) 2^{6} 3^{6}$ alltså måste jag använda kombinatoriska principer för att lösa uppgiften men jag vet inte hur.. skulle upskatta om jag får hjälp med hur jag ska tänka med den här uppgiften.

Tack i förhand.

Har du använt binomialsatsen tidigare? :)

Vi har gått igenom den men jag tänkte inte att jag kunde använda den. Binomial satsen såg här ut,

${(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) n^{n - k} b^{k}$

hur vet man att det är binomialsatsen som gäller? och hur fortsätter jag nu?

När det gäller att utveckla uttryck på formen $(a+b)^n$ , är det ofta binomialsatsen som behövs. :)

Nästan! $n^{n-k}$ ska vara $x^{n-k}$ , och $b^k$ är $y^k$ . Det betyder för denna uppgift att:

${(2 x^{2} - \frac{3}{x})}^{12} = \sum_{k = 0}^{12} (\begin{matrix} 12 \\ k \end{matrix}) \cdot {(2 x^{2})}^{12 - k} \cdot {(\frac{3}{x})}^{k}$

Men, i detta fall behöver vi fokusera på faktorerna $x^2$ och $\frac{3}{x}$ . Om $k=t$ , får vi termen:

$(\begin{matrix} 12 \\ t \end{matrix}) {(2 x^{2})}^{12 - t} \cdot {(\frac{3}{x})}^{t}$

Vilket värde på t ger $x^6$ (multiplicerad med något tal)? :)

t måste vara 6, i och med att vi vill att det ska vara x^6.

Vi provar! Då får vi

$(\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) {(2 x^{2})}^{12 - 6} \cdot {(\frac{3}{x})}^{6} = (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) {(2 x^{2})}^{6} \cdot {(\frac{3}{x})}^{6} = (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot x^{12} \cdot \frac{1}{x^{6}} = (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot x^{6}$

Det stämmer! Då blir faktorn framför $x^6$ lika med $(\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) 2^{6} \cdot 3^{6}$ .

Om uppgiften hade varit lite annorlunda, exempelvis ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{12}$ , då behövs en algebraisk metod. Den går ut på att i runda slängar räkna såhär:

För vilket t fås faktorn $x^6$ ? Vi vill hitta det t som löser ekvationen ${(x^{3})}^{12 - t} \cdot {(\frac{1}{x})}^{t} = x^{6}$ . Förenkling ger då:

$x^{3 (12 - t)} \cdot \frac{1}{x^{t}} = x^{6} x^{36 - 3 t} \cdot x^{- t} = x^{6} x^{36 - 3 t - t} = x^{6} x^{36 - 4 t} = x^{6} 36 - 4 t = 6 4 t = 30 t = 7, 5$

Eftersom heltalslösningar saknas, kommer utvecklingen av uttrycket ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{12}$ inte att innehålla någon $x^6$ -term.

Hade vi exempelvis fått svaret $t=8$ ‚ hade vi satt in det värdet i uttrycket $(\begin{matrix} 12 \\ t \end{matrix}) {(x^{3})}^{12 - t} \cdot {(\frac{1}{x})}^{t}$ och beräknat koefficienten framför $x^6$ . :)

Tack bästa! Tackar så hemskt mycket! Väldigt bra förklarat och smidigt! :D

Varsågod! :)

Svara

Visa senaste svar