Bestäm koefficienten framför x^10 (med hjälp av binomialsatsen)

Jag har problem med en uppgift. Mitt problem är att mitt svar inte överensstämmer med det i facit...

Uppgiften lyder: Bestäm koefficienten framför x^10 i utvecklingen (1/(x^4)+x)^30.

Jag försöker lösa den genom tillämpa binomialsatsen. Jag skriver dock inte ut den formuleringen här.

Först förenklar jag uttrycket (1/(x^4)+x)^30.

Jag får först (x^4)^(-1)^(30-k) * x^k,

sedan (x^4)^(-30+k) * x^k,

sedan x^(-120+4k) * x^k

och till slut x^-120+5k.

Eftersom jag söker koefficienten då x^10 löser jag nu ekvationen 10 = -120+5k och får

130 = 5k

k = 26.

Genom att tillämpa binomialsatsen får jag slutligen (30 över 26). (Jag skriver (30 över 26) för binomialkoefficienten (n över k)). Mitt svar är alltså att koefficienten framför x^10 är

30! / 4!26!

Eftersom (n över k) = n! / (n-k)!k!

Tyvärr håller facit inte med mig. Facit ger svaret i samma form som jag, men föreslår i stället lösningen (30 över 4) (det vill säga 30! / 26!4!).

Nu inser jag ju självklart att dessa svar är likvärdiga, men jag förstår inte varför de skrivit 4 i stället för 26? Är det något fel på mina uträkningar?

Som du märkt så har du kommit fram till rätt svar. Om man vill få (30 över 4) istället så använder du att

${(\frac{1}{x^{4}} + x)}^{30} = \sum_{k = 0}^{30} (\begin{matrix} 30 \\ k \end{matrix}) x^{(30 - k)} {(\frac{1}{x^{4}})}^{k}$

och fortsätter beräkningarna på det sättet du gjorde.

Annorlunda uttryckt:

x + x^-4 = x^-4 + x

Hej!

Anledningen att facit väljer att skriva ${30 \choose 4}$ istället för ${30 \choose 26}$ är att det ser snyggare ut; de två symbolerna betecknar samma tal.

Albiki

Svara

Visa senaste svar