Bestäm K!

För ett induktionsbevis behöver du tre saker

1. Induktionsbasen; detta har du räknat ut ovan

2. Induktionsantagandet; detta är ett antagande om att påståendet gäller för något n

3. Induktionssteget; här måste du visa att om det gäller för n så gäller det också för n+1. Det kan du göra genom att visa hur VL och HL påverkas när n ökar till n+1

Men vad är uppgiften egentligen? Bestäm K eller bevisa att det finns ett K för vilket uttrycket gäller eller både och?

uppgiften vill att man ska bestämma det största reella talet på k då n > 3. Jag uppfattar det som att jag ska bevisa största talet för k, vilket jag fick till 24^1/4, med hjälp av ett induktions bevis.

IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs

k^p < p! 

IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs 

k^p+1 < (p+1)!

VL: k^p + k < (p+1)!

< p! + k < (p+1)!

Hur jag fortsätter jag här? Hjälp uppskattas! :)

Jag förstår inte alls vad du gör på slutet. Du skriver VL, men skriver sedan ut både VL och HL.

Dessutom, k^p+1 är inte = k^p+k

Men du är på rätt spår. Du ska uttrycka VL(p+1) med hjälp av VL(p) och motsvarande för HL och sedan jämföra dem.

För ditt k gäller likhet när n = 4. Något största reellt k för vilket < gäller finns inte.

Mega7853 skrev:

Jag förstår inte alls vad du gör på slutet. Du skriver VL, men skriver sedan ut både VL och HL.

Dessutom, k^p+1 är inte = k^p+k

Men du är på rätt spår. Du ska uttrycka VL(p+1) med hjälp av VL(p) och motsvarande för HL och sedan jämföra dem.

IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs

k^p < p! 

IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs 

k^p+1 < (p+1)!

VL: k^p * k 

HL: (p+1)!

Nu har vi nått gränsen för min induktionsbevis-kunskap😅: hur ska jag gå vidare härifrån?

Bra! Du har skrivit om VL(p+1) som k*VL(p). Kan du skriva om HL på liknande sätt? Kan du isåfall bevisa att VL(p+1)<HL(p+1), givet att VL(p)<HL(p)? Det kommer ju att bero på k, men det har du ju redan räknat ut så det borde gå bra.

Och fortsättningen?
$$\begin{gathered} k^p*k < p!*p+1 \\ vi vet att k^p < p! \\ då måste k < p+1 \end{gathered}$$

vilket det är för k = ${24}^{1/4}$ =  2,21 om p > 2
Induktionsbeviset gäller alltså om n > 2, men basfallet endast om n > 3

Janne491 skrev:

Och fortsättningen?
$$\begin{gathered} k^p*k < p!*p+1 \\ vi vet att k^p < p! \\ då måste k < p+1 \end{gathered}$$

vilket det är för k = ${24}^{1/4}$ =  2,21 om p > 2
Induktionsbeviset gäller alltså om n > 2, men basfallet endast om n > 3

Tack för hjälpen. Jag förstår hur man kommer fram till k < p+1 men förstår inte riktigt vad man ska göra med detta. Skulle du kunna förklara lite mer? :)

Jo eftersom k<p+1 alltid gäller om p>2 för det k-värde du fick fram,så har ju induktionsbeviset fungerat. 

Jag förstår nu!! Tack så mycket för hjälpen. Du får ha en trevlig kväll :)

Ok jag är tillbaks igen

Jag har försökt få ner beviset på papper och fy vad jag inte kan detta.

IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs

k^p < p! 

IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs 

k^p+1 < (p+1)!

VL: k^p * k 

HL: p! (p+1)

k^p * k < p! (p+1)

k^p < p! (enligt IA)

=> k < (p+1)

haha vad skriver man nu? 

Nja. Det är väl fel ordning på slutet. Du vet att "k^p < p! (enligt IA)" och att "k < (p+1)" eftersom du räknat ut k och vet att p>3 och därmed har du bevisat (=>) att "k^p+1 < (p+1)!". Ett lämpligt sätt att avsluta är väl "Vilket skulle bevisas", "VSB" eller "QED".