12 svar
157 visningar
liamnatur 22 – Fd. Medlem
Postad: 21 apr 2021 17:19

Bestäm K!

Tjenare, jag har en otroligt krånglig fråga. Har ingen aning om hur man kan tänka sig lösa denna men jag antar att det kräver ett induktionsbevis.

Det jag tänker att man kan börja med ett basfall:

Kn < n! , n > 3

BF: n=4 

VL = k4 

HL = 4 ! = 4*3*2*1 = 24

K får som mest vara K = 241/4

Är detta steg rätt, kan jag gå vidare till induktions antagande?

Mega7853 211
Postad: 21 apr 2021 19:22

För ett induktionsbevis behöver du tre saker

1. Induktionsbasen; detta har du räknat ut ovan

2. Induktionsantagandet; detta är ett antagande om att påståendet gäller för något n

3. Induktionssteget; här måste du visa att om det gäller för n så gäller det också för n+1. Det kan du göra genom att visa hur VL och HL påverkas när n ökar till n+1

 

Men vad är uppgiften egentligen? Bestäm K eller bevisa att det finns ett K för vilket uttrycket gäller eller både och?

liamnatur 22 – Fd. Medlem
Postad: 21 apr 2021 20:44

uppgiften vill att man ska bestämma det största reella talet på k då n > 3. Jag uppfattar det som att jag ska bevisa största talet för k, vilket jag fick till 241/4, med hjälp av ett induktions bevis.

IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs

kp < p! 

IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs 

kp+1 < (p+1)!

VL: kp + k < (p+1)!

< p! + k < (p+1)!

Hur jag fortsätter jag här? Hjälp uppskattas! :)

Mega7853 211
Postad: 22 apr 2021 08:27

Jag förstår inte alls vad du gör på slutet. Du skriver VL, men skriver sedan ut både VL och HL.

Dessutom, kp+1 är inte = kp+k

Men du är på rätt spår. Du ska uttrycka VL(p+1) med hjälp av VL(p) och motsvarande för HL och sedan jämföra dem.

Laguna Online 30472
Postad: 22 apr 2021 08:37

För ditt k gäller likhet när n = 4. Något största reellt k för vilket < gäller finns inte.

liamnatur 22 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2021 13:52
Mega7853 skrev:

Jag förstår inte alls vad du gör på slutet. Du skriver VL, men skriver sedan ut både VL och HL.

Dessutom, kp+1 är inte = kp+k

Men du är på rätt spår. Du ska uttrycka VL(p+1) med hjälp av VL(p) och motsvarande för HL och sedan jämföra dem.

IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs

kp < p! 

IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs 

kp+1 < (p+1)!

VL: k* k 

HL: (p+1)!

 

Nu har vi nått gränsen för min induktionsbevis-kunskap😅: hur ska jag gå vidare härifrån?

Mega7853 211
Postad: 22 apr 2021 14:22

Bra! Du har skrivit om VL(p+1) som k*VL(p). Kan du skriva om HL på liknande sätt? Kan du isåfall bevisa att VL(p+1)<HL(p+1), givet att VL(p)<HL(p)? Det kommer ju att bero på k, men det har du ju redan räknat ut så det borde gå bra.

Janne491 290
Postad: 22 apr 2021 15:24

Och fortsättningen?
kp*k < p!*p+1vi vet att kp < p!då måste k < p+1

vilket det är för k = 241/4 =  2,21 om p > 2
Induktionsbeviset gäller alltså om n > 2, men basfallet endast om n > 3

liamnatur 22 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2021 18:53
Janne491 skrev:

Och fortsättningen?
kp*k < p!*p+1vi vet att kp < p!då måste k < p+1

vilket det är för k = 241/4 =  2,21 om p > 2
Induktionsbeviset gäller alltså om n > 2, men basfallet endast om n > 3

Tack för hjälpen. Jag förstår hur man kommer fram till k < p+1 men förstår inte riktigt vad man ska göra med detta. Skulle du kunna förklara lite mer? :)

Janne491 290
Postad: 22 apr 2021 19:13

Jo eftersom k<p+1 alltid gäller om p>2 för det k-värde du fick fram,så har ju induktionsbeviset fungerat. 

liamnatur 22 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2021 19:19 Redigerad: 22 apr 2021 19:20

Jag förstår nu!! Tack så mycket för hjälpen. Du får ha en trevlig kväll :)

liamnatur 22 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2021 21:48 Redigerad: 22 apr 2021 21:56

Ok jag är tillbaks igen

 

Jag har försökt få ner beviset på papper och fy vad jag inte kan detta.

 

IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs

kp < p! 

IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs 

kp+1 < (p+1)!

VL: kp * k 

HL: p! (p+1)

k* k < p! (p+1)

kp < p! (enligt IA)

=> k < (p+1)

 

haha vad skriver man nu? 

Mega7853 211
Postad: 23 apr 2021 08:34

Nja. Det är väl fel ordning på slutet. Du vet att "kp < p! (enligt IA)" och att "k < (p+1)" eftersom du räknat ut k och vet att p>3 och därmed har du bevisat (=>) att "kp+1 < (p+1)!". Ett lämpligt sätt att avsluta är väl "Vilket skulle bevisas", "VSB" eller "QED".

Svara
Close