Bestäm K!
Tjenare, jag har en otroligt krånglig fråga. Har ingen aning om hur man kan tänka sig lösa denna men jag antar att det kräver ett induktionsbevis.
Det jag tänker att man kan börja med ett basfall:
Kn < n! , n > 3
BF: n=4
VL = k4
HL = 4 ! = 4*3*2*1 = 24
K får som mest vara K = 241/4
Är detta steg rätt, kan jag gå vidare till induktions antagande?
För ett induktionsbevis behöver du tre saker
1. Induktionsbasen; detta har du räknat ut ovan
2. Induktionsantagandet; detta är ett antagande om att påståendet gäller för något n
3. Induktionssteget; här måste du visa att om det gäller för n så gäller det också för n+1. Det kan du göra genom att visa hur VL och HL påverkas när n ökar till n+1
Men vad är uppgiften egentligen? Bestäm K eller bevisa att det finns ett K för vilket uttrycket gäller eller både och?
uppgiften vill att man ska bestämma det största reella talet på k då n > 3. Jag uppfattar det som att jag ska bevisa största talet för k, vilket jag fick till 241/4, med hjälp av ett induktions bevis.
IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs
kp < p!
IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs
kp+1 < (p+1)!
VL: kp + k < (p+1)!
< p! + k < (p+1)!
Hur jag fortsätter jag här? Hjälp uppskattas! :)
Jag förstår inte alls vad du gör på slutet. Du skriver VL, men skriver sedan ut både VL och HL.
Dessutom, kp+1 är inte = kp+k
Men du är på rätt spår. Du ska uttrycka VL(p+1) med hjälp av VL(p) och motsvarande för HL och sedan jämföra dem.
För ditt k gäller likhet när n = 4. Något största reellt k för vilket < gäller finns inte.
Mega7853 skrev:Jag förstår inte alls vad du gör på slutet. Du skriver VL, men skriver sedan ut både VL och HL.
Dessutom, kp+1 är inte = kp+k
Men du är på rätt spår. Du ska uttrycka VL(p+1) med hjälp av VL(p) och motsvarande för HL och sedan jämföra dem.
IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs
kp < p!
IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs
kp+1 < (p+1)!
VL: kp * k
HL: (p+1)!
Nu har vi nått gränsen för min induktionsbevis-kunskap😅: hur ska jag gå vidare härifrån?
Bra! Du har skrivit om VL(p+1) som k*VL(p). Kan du skriva om HL på liknande sätt? Kan du isåfall bevisa att VL(p+1)<HL(p+1), givet att VL(p)<HL(p)? Det kommer ju att bero på k, men det har du ju redan räknat ut så det borde gå bra.
Och fortsättningen?
vilket det är för k = = 2,21 om p > 2
Induktionsbeviset gäller alltså om n > 2, men basfallet endast om n > 3
Janne491 skrev:Och fortsättningen?
vilket det är för k = = 2,21 om p > 2
Induktionsbeviset gäller alltså om n > 2, men basfallet endast om n > 3
Tack för hjälpen. Jag förstår hur man kommer fram till k < p+1 men förstår inte riktigt vad man ska göra med detta. Skulle du kunna förklara lite mer? :)
Jo eftersom k<p+1 alltid gäller om p>2 för det k-värde du fick fram,så har ju induktionsbeviset fungerat.
Jag förstår nu!! Tack så mycket för hjälpen. Du får ha en trevlig kväll :)
Ok jag är tillbaks igen
Jag har försökt få ner beviset på papper och fy vad jag inte kan detta.
IA: antag att olikheten gäller för något n=p, dvs
kp < p!
IS: enligt IA, visa att olikheten gäller för n=p+1, dvs
kp+1 < (p+1)!
VL: kp * k
HL: p! (p+1)
kp * k < p! (p+1)
kp < p! (enligt IA)
=> k < (p+1)
haha vad skriver man nu?
Nja. Det är väl fel ordning på slutet. Du vet att "kp < p! (enligt IA)" och att "k < (p+1)" eftersom du räknat ut k och vet att p>3 och därmed har du bevisat (=>) att "kp+1 < (p+1)!". Ett lämpligt sätt att avsluta är väl "Vilket skulle bevisas", "VSB" eller "QED".