Bestäm integralen geometriskt (Arean) (Matematik/Universitet)

Eftersom du vet att det är en cirkel (eller ja, halvcirkel är det) så är det lätt att räkna ut arean.

Jag vet inte att det är en cirkel, hade det stått r^2=y^2+x^2 då hade jag vetat det.

Du skrev att en del av integranden är en cirkel. Rita upp det hela, cirkeln och resten.

Kan ju inte rita den eftersom den inte är på formen r^=y^2+x^2

Liddas skrev:
Kan ju inte rita den eftersom den inte är på formen r^=y^2+x^2

Du kan fortfarande rita den eftersom den är på formen $y = 1/2 - \sqrt{r^{2}-x^{2}}$ .

Detta innebär helt enkelt att du flyttat en "glad" halvcirkel med radie 3 och centrum i origo uppåt 1/2 enheter.

Edit: Meningen är dock självklart inte att du ska räkna ut arean på en halvcirkel med Archimedes formel. Meningen är att du ska använda en trigonometrisk substitution.

Det står geometriskt. Det borde betyda att man kan urskilja cirkelsektorer och trianglar osv. utan att använda algebra eller analys. (Nej, jag har inte ritat själv ännu.)

Hej Liddas,

Du vill beräkna integralen

$\int_{-3}^{3} \frac{1}{2}-\sqrt{9-x^2}\,dx.$

Om $y = \frac{1}{2}-\sqrt{9-x^2}$ så ger Kvadreringsregeln att

$y^2 = \frac{1}{4} + 9-x^2 - \sqrt{9-x^2}$

och inte det som du skriver.

Laguna skrev:
Det står geometriskt.

Ah, det missade jag helt... Krångligt i detta fall då det fortfarande inte är arean för en halvcirkel eftersom större delen av integralen är negativ med en liten positiv del. Kanske går som du säger att använda sig av trianglar och cirkelsektorer.

Liddas skrev:
Y=1/2-root(9-x^2)
Y^2=1/4-(9-x^2)

Detta, som Albiki påpekar är fel, måste du vara väldigt försiktig med. Jag vet många som gör detta fel på gymnasienivå men det felet är närmare oacceptabelt på universitetsnivå. Det du gjort är att du antar att kvadrering av två termer innebär att varje term blir kvadrerad var för sig eller att kvadrering är en linjär operation.

Du lärde dig kvadreringsregeln i Matematik 2 enligt nedan:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Det du skrivit (vilket inte stämmer) är:

${(a + b)}^{2} \overset{!}{=} a^{2} + b^{2}$

Ebola skrev:
Laguna skrev:
Det står geometriskt.
Ah, det missade jag helt... Krångligt i detta fall då det fortfarande inte är arean för en halvcirkel eftersom större delen av integralen är negativ med en liten positiv del. Kanske går som du säger att använda sig av trianglar och cirkelsektorer.

Jo, det är en halvcirkel,inte något krångligare - rita så får du se!

Vad blir:

$(y-\frac{1}{2})^2$ ?

Smaragdalena skrev:
Jo, det är en halvcirkel,inte något krångligare - rita så får du se!

Kurvan må vara en halvcirkel men integralens värde är en summa av ett positivt och negativt tal:

Integralens värde är ca -11.137 men arean för en halvcirkel med radie 3 är ca. 14.137.

Jag skulle vilja se hur ursprungsuppgiften ser ut korrekt skriven. Det är fullt möjligt att högst en av oss tolkar "integral 1/2 -root(9-x^2) från -3 till 3" som det är tänkt.

Liddas, kan du lägga in en bild av uppgiften?

Man behöver inte göra en enda figur av integranden. Räkna ut integralen av 1/2 och sen integralen av halvcirkelgrejen.

Hej,

Geometrisk tolkning av integralen får du genom att beräkna den som differensen av två integraler.

$\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}\, dx$ och $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx.$

Den första integralen är arean av en rektangel vars bas är 6 och höjd är 1/2.
Den andra integralen är arean hos en halvcirkelskiva vars radie är 3.

Albiki skrev:
Hej,
Geometrisk tolkning av integralen får du genom att beräkna den som differensen av två integraler.
$\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}\, dx$ och $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx.$
Den första integralen är arean av en rektangel vars bas är 6 och höjd är 1/2.
Den andra integralen är arean hos en halvcirkelskiva vars radie är 3.

Precis.

Det ligger under delen “utvärdera geometriskt”

Ja klantigt nog har jag räknat fel när jag kvadrerade.

Tack för alla svar/hjälp, jag får ut rätt svar eftersom jag nu vet att det är en halvcirkel, men hur ser jag att det är en halvcirkel?

Är det bara så att det för att arean beräknas ovanför x axeln? Dvs y>0

edit: nej det är det ju inte eftersom grafen som ni ritat ut är ju under x-axeln...

men hur ser jag att det är en halvcirkel?

Rita! Sätt in y = -3,-2... ,3 i formeln.

Du bör också lära dig att känna igen ekvationen för en cirkel ((x-x₀)²+(y-y₀)²=r²), som du lärde dig i Ma3, även i olika "förklädnader".

Okej ska prova rita!

Ja men det har man glömt men kollade lite på det nyss och den bygger ju på pytagoras sats så det finns ju lite trix att uppfriska, och x-x_0 blir ju förskjutningen i x led från origo etc...

I just det här fallet är ju x₀ = 0.

Liddas skrev:
Är det bara så att det för att arean beräknas ovanför x axeln? Dvs y>0
edit: nej det är det ju inte eftersom grafen som ni ritat ut är ju under x-axeln...

Nedanför x-axeln är den nog för att den hade ett minustecken framför sig.

Jag ska alltså sätta in y värdena i ursprungsformeln? Då får vi ju en massa knepigt kvar med roten ur x^2 osv. Vore bra att lära sig rita upp detta!

Lär dig att känna igen formeln för en halvcirkel när du ser den! ;-)