Bestäm gränsvärdet med hjälp av Maclaurinutveckling.

Taylorutvecklingen för alla dessa termer är

$$\begin{gathered} \ln (1 + x)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}x - \frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+O\left(x^5\right) \\ \sin \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}x - \frac{1}{3!}{x}^3+O\left(x^5\right) \\ \cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1 - \frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+O\left(x^6\right) \\ arc\tan \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+O\left(x^7\right) \end{gathered}$$

Nu behöver du bara sätta in dessa i uttrycket du har och förenkla.

Då slutar det med ett bråk som ser ut så här:

lim x->0 ((x^3/2)-(7x^4/24))/((-x^3/3)+(x^5/5))

Ska jag bryta ut x^3 ur bråket och fortsätta räkna eller finns det ett enklare sätt?

Det är det klart enklaste sättet.

Tack!