Bestäm gränsvärdet genom att tolka derivatavärdet

Tanken är att du ska skriva om bråket som följande differenskvot: $\frac{5^{0+h}-5^9}{h}$.

Och sedan känna igen det mönstret från derivatans definition.

Tillägg: 10 maj 2023 07:57

Jag skrev fel, täljaren ska vara $5^{0+h}-5^0$

Yngve skrev:

Tanken är att du ska skriva om bråket som följande differenskvot: $\frac{5^{0+h}-5^9}{h}$.

Vart kommer 5⁹ ifrån? Eller visade du bara ett exempel?

Jag har försökt derivera defferenskvoten (se bilden ovan), men det verkar vara fel. Vad är det för misstag jag gör?

Och sedan känna igen det mönstret från derivatans definition.

karisma skrev:

Vart kommer 5⁹ ifrån? Eller visade du bara ett exempel?

Bej det var inte bara ett exempel. Du kan skriva om talet 1 som 5⁰ så att formen på differenskvoten blir tydligare.

Jag har försökt derivera defferenskvoten (se bilden ovan), men det verkar vara fel. Vad är det för misstag jag gör?

Du ska inte derivera. Tanken är att du ska känna igen uttrycket som definitionen av en derivata i en viss punkt:

Differenskvoten har följande utseende: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

I det här fallet är a = 0.

Varför har du skrivit -5⁹? Bör det inte stå -5⁰ då det är -1 vi har skrivit om?

Sen undrar jag varför man adderar h i exponenten i 5^0+h? Bör det inte stå 5⁰ + h som i a + h i derivatans definition?

karisma skrev:

Varför har du skrivit -5⁹? Bör det inte stå -5⁰ då det är -1 vi har skrivit om?

Jo du har rätt, jag skrev fel. Det ska stå 5⁰.

Sen undrar jag varför man adderar h i exponenten i 5^0+h? Bör det inte stå 5⁰ + h som i a + h i derivatans definition?

Enligt derivatans definition är $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Om vi nu har funktionen $f(x)=a^x$ så är $f(x+h)=a^{x+h}$ och vi får då att $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$

Om $a=5$ så är $f(x)=5^x$ och vi får då att $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{5^{x+h}-5^x}{h}$

Kommer du vidare då?