Bestäm gränsvärdet

visst är x dominerande i täljaren, men vad är det som dominerar nämnaren? det är inte x, du kan ju fixa till det du har kommit fram till så länge men det är nog bättre om du börjar om så att du hänger med på varför det blir 0. x dominerar täljaren, vad kommer dominera nämnaren? Med andra ord, x växer snabbast i täljaren men vilken term växer snabbast i nämnaren?

Din första metod är inte fel, däremot har du ersatt  2/x med 0 lite "för tidigt".

Det ska vara så här:

$\frac{x+2}{x^2+2x}=\frac{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}{\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{x}}=\frac{1+\frac{2}{x}}{x+2}$

Om vi nu låter x gå mot (positiva) oändligheten så går täljaren mot 1 och nämnaren mot oändligheten och hela uttrycket går därför mot 0.

Yngve skrev:

Din första metod är inte fel, däremot har du ersatt  2/x med 0 lite "för tidigt".

Det ska vara så här:

$\frac{x+2}{x^2+2x}=\frac{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}{\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{x}}=\frac{1+\frac{2}{x}}{x+2}$

Om vi nu låter x gå mot (positiva) oändligheten så går täljaren mot 1 och nämnaren mot oändligheten och hela uttrycket går därför mot 0.

Jag förstår inte vad du menar. 

Så långt har jag förstått 

Jag menar att du ersätter 2/x med 0 i täljaren men att du låter x stå kvar i nämnaren.

Då har du låtit x "gå mot oändligheten" i täljaren men inte i nämnaren.

I din nya uträkning har du tappat bort ett x (markerat i bilden nedan).

Men om jag delar  2x/x då blir det 2

alltså 

(1)/(x+2) 

Hur vet man om det uttrycket ska gå mot 0? Ska jag dela med x ännu en gång?

Lisa14500 skrev:

Men om jag delar  2x/x då blir det 2

alltså 

(1)/(x+2) 

Ja, 2x/x är lika med 2 (om x inte är lika med 0).

Men hur får du 1/(x+2)? Vart tog 2/x i täljaren vägen?

Hur vet man om det uttrycket ska gå mot 0? Ska jag dela med x ännu en gång?

Om du vill kan du förkorta med x igen ja (eller förkorta med x^2 på en gång).

Men det behövs inte.

Du har ett bråk där täljaren går mot 1 och där nämnaren går mot oändligheten. Då går kvoten mot 0.

Det är precis samma tänk som för termen 2/x i täljaren. När x går mot oändligheten så går den termen mot 0.

”Men hur får du 1/(x+2)? Vart tog 2/x i täljaren vägen? ”

2/x gjorde jag om till 0  ... för uttrycket går mot 0

Lisa14500 skrev:

2/x gjorde jag om till 0  ... för uttrycket går mot 0

Men du har ju fortfarande kvar x i nämnaren?

Du måste låta alla x-termer gå mot oändligheten samtidigt.

Jaha isåfall ska det bli 

1/(x+2) . 

Jag väljer att dela uttrycket med x igen. 

(1/x)/((x/x) +(2/x) )

0/(1+0) =0 -> gränsvärdet

Lisa14500 skrev:

Jaha isåfall ska det bli 

1/(x+2) . 

...

Nej nu skriver du ju samma sak igen!

Det ska vara (1+2/x)/(x+2)

Jag väljer att inte ha med 2/x för det sätter jag direkt till 0. Så 2/x försvinner från uttrycket. Eller vad menar du?

Räcker det inte att bryta ut x i nämnaren? Dvs (x+2)/(x(x+2)) =1/x. lim (x->$\infty$)1/x=0.

Lisa14500 skrev:

Jag väljer att inte ha med 2/x för det sätter jag direkt till 0. Så 2/x försvinner från uttrycket. Eller vad menar du?

Jag menar att när du låter x gå mot oändligheten så ska det gälla samtidigt för alla förekomster av x i uttrycket.

Det gäller helt enkelt inte att (1+2/x)/(x+2) är lika med 1/(x+2).

Du menar att det ska vara 

(x/x +2/x)/(x^2/x + 2x/x) 

vilket ska ge oss

(1+0)/(x+2) 

vilket i sin tur kan förenklas till

(1)/(x+2) . Jag kan välja att dividera alla uttryck med x för att jag tycker att det blir enklare att se att gränsvärdet går mot 0.

(1/x)/(x/x+ 2/x) 

0/(1+0) =0/1 -> 0 -> gränsvärdet

Personligen hade jag faktoriserat ut det som dominerar täljaren och nämnaren och sedan låtit x gå mot oändlighet. (bara en smaksak).

Det snabbaste sättet är att inse att du har en gemensam faktor av (x+2) i täljaren och nämnaren. 
$\frac{x+2}{x^2+2x} = \frac{x+2}{x(x+2)}$ och det leder till att $f(x) = \frac{1}{x}$ och sedan kan du låta x gå mot oänlighet och då blir det 0.

ja det hade jag också gjort. Men jag ville veta varför min andra metod inte fungerade

Lisa14500 skrev:

Du menar att det ska vara 

(x/x +2/x)/(x^2/x + 2x/x) 

Ja det menar jag.

vilket ska ge oss

(1+0)/(x+2)

Det ska vara (1+2/x)/(x+2)

vilket i sin tur kan förenklas till

(1)/(x+2) .

Nej det stämmer fortfarande inte.

Det spelar ingen roll hur många gånger du skriver samma fel, det blir inte mer rätt för det.

Der ska vara just (1+2/x)/(x+2), inget mer.

Sen kan du låta x gå mot oändligheten, vilket gör att termen 2/x går mot 0 och att nämnaren x+2 går mot oändligheten, vilket gör att kvotens värde går mot 0.

Jag kan välja att dividera alla uttryck med x för att jag tycker att det blir enklare att se att gränsvärdet går mot 0.

 

(1/x)/(x/x+ 2/x) 

0/(1+0) =0/1 -> 0 -> gränsvärdet

Nej du kan absolut inte dividera med x efter att du har låtit x gå mot oändligheten (för vissa termer).

Om du väljer att dividera med x igen så ska du skriva så här:

(1+2/x)/(x+2) = (1/x+2/x^2)/(x/x+2/x) = (1/x+2/x^2)/(1+2/x)

Om du nu låter x gå mot oändligheten så går termerna 1/x, 2/x^2 i täljaren och 2/x i nämnaren mot 0 och hela uttrycket går då mot (0+0)/(1+0) = 0/1 = 0.

Lisa14500 skrev:

ja det hade jag också gjort. Men jag ville veta varför min andra metod inte fungerade

Din andra metod fungerade, men du slutförde inte den lösningen (och du gjorde som sagt fel när du ersatte 2/x med 0 i täljaren "för tidigt").

Varför ska ”2/x” stå kvar? Det kommer ju gå mot 0 så det är lika bra att vara ta bort den

Lisa14500 skrev:

Varför ska ”2/x” stå kvar? Det kommer ju gå mot 0 så det är lika bra att vara ta bort den

Det har jag svarat på. Flera gånger.

Först här.

Sedan här.

Och här.

Ber i ursäkt för att jag har ställt så många frågor. Och tack för ditt tålamod!
För mig gäller det att förstå i första hand det jag räknar ut. Inte bara att få ”rätt svar”. 

-

Är det så du menar 

Ja, nu är det rätt.

Nu kan du välja att antingen låta x gå mot oändligheten och konstatera att uttrycket då går mot 0 eller att först förkorta med x igen innan du låter x gå mot oändligheten.

Gränsvärden är ett rätt knepigt koncept innan man vänjer sig, så det är inte konstigt att det dröjer ett tag innan polletten trillar ner.

Du behöver inte be om ursäkt för att du ställer många frågor. och det är mycket bra att du strävar efter förståelse snarare än rätta svar.

Med bara rätta svar på övningsuppgifterna kommer du inte långt, men med förståelse så kommer du att ha en bra förutsättning på proven och för vidare studier.

Tackar!:)