Bestäm gränsvärdet

knowledge12 skrev:

Bestäm gränsvärdet

lim h->0 (5^h-1)/h

 

Differenskvoten är ju (f(x+h)-f(x))/h

Men jag vet inte riktigt hur jag ska gå tillväga.

Ska jag stoppa in (x+h) i 5^h?

Svar: Gränsvärdet är ln5

 

 

Mycket tacksam för hjälp!

 Är det $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^{h-1}}{h}$  eller $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^h-1}{h}$

Den andra.

Limes när h går mot 0 är ju definition av derivatan. Derivera kvoten enligt regeln för derivering av kvoter borde vara det enklaste sättet.

Edit: Tankevurpa, jag tar tillbaks. Albiki har en elegant lösning nedan

knowledge12 skrev:

Den andra.

 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^h-1}{h}\Rightarrow \underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}{5}^h-1}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}h}\Rightarrow \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^h\ln \left(5\right)}{1}\Rightarrow \frac{5^0\ln \left(5\right)}{1}=\ln \left(5\right)$

Tack så mycket!

Hej!

Om du känner till exponentialfunktionen $e^{x}$ och dess derivata föreslår jag att du använder den här.

    $5^{h} = e^{\ln 5^{h}} = e^{h \ln 5}$.

Definiera funktionen $f(x) = e^{x \ln 5}$ (där $-\infty < x=""><>$) så att ditt gränsvärde kan skrivas

    $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h},$

eftersom $f(0) = e^{0\ln 5} = e^{0} = 1$. 

Om du känner till definitionen av derivata så ser du att ditt gränsvärde är samma sak som derivatan till funktionen $f$, beräknad i punkten noll.

    $\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f'(0).$

Hur beräknar man derivatan till exponentialfunktionen $f(x) = e^{x \cdot \ln 5}$?