Bestäm Gränsvärdet (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Borde man ta dessa bråk var för sig ?

Jag ser bara ett bråk.

Arup skrev:
Borde man ta dessa bråk var för sig ?

Pröva att förkorta med 2^x

Hej Arup!

Det som man kan göra först är, som Yngve sa, förkorta med 2^x.

jag gjorde det, men fick bara slarvfel

Visa din uträkning så hjälper vi dig att hitta felet

Yngve skrev:
Visa din uträkning så hjälper vi dig att hitta felet

OK du delade upp bråket i två delar, det går bra (fast det behövs egentligen inte).

Förkorta nu första bråket med 2^x och andra bråket med x³.

Kika här om du har glömt bort hur man förkortar ett bråk.

Arup skrev:
Yngve skrev:
Visa din uträkning så hjälper vi dig att hitta felet

Jag tror en mer effektiv metod är att faktiskt bara förkorta 2^x redan i början... men vi kan ju fortsätta så här. Det går också bra.

EDIT: Oops, jag såg att Yngve sa det redan, haha!

Yngve jag vet principen när jag förkortar och förlänger bråk. Men, jag blir bara förvirrad när jag bar fler variabler att hantera. Liksom jag kan direkt dela båda sidorna med närmnarens och täljarens delare som i $\frac{}{3^{x} + x^{2}}$

Så här blir det om du förkortar ursprungsbråket med 2^x:

$\frac{2^x+x^3}{3^x+x^2}=$

$=\frac{\frac{1}{2^x}\cdot(2^x+x^3)}{\frac{1}{2^x}\cdot(3^x+x^2)}=$

$=\frac{1+\frac{x^3}{2^x}}{\frac{3^x}{2^x}+\frac{x^2}{2^x}}$

Du kan nu använda en potenslag för att förenkla nämnarens första term.

Yngve skrev:
Så här blir det om du förkortar ursprungsbråket med 2^x:

$\frac{2^x+x^3}{3^x+x^2}=$

$=\frac{\frac{1}{2^x}\cdot(2^x+x^3)}{\frac{1}{2^x}\cdot(3^x+x^2)}=$

$=\frac{1+\frac{x^3}{2^x}}{\frac{3^x}{2^x}+\frac{x^2}{2^x}}$

Du kan nu använda en potenslag för att förenkla nämnarens första term.

Yngve, jag vet det är lite petigt, men du glömde sätta lim. Om man sätter lim så följer det tankeflödet (i så fall för mig :)

Okej.

shkan skrev:

Yngve, jag vet det är lite petigt, men du glömde sätta lim.

Det var avsiktligt.

Det går utmärkt att förenkla bråket för sig och sedan skriva dit limes i efterskott. Det viktiga är att man förklarar vad man gör.

Det var det jag försökte göra genom att skriva "ursprungsbråket" och inte "uttrycket".

Yngve skrev:
shkan skrev:

Yngve, jag vet det är lite petigt, men du glömde sätta lim.

Det var avsiktligt.

Det går utmärkt att förenkla bråket för sig.

Set var därför jag skrev "ursprungsbråket" och inte "uttrycket".

Jag förstår. Tack så mycket för förklaringen.

kommer detta från

$\frac{a}{b} / \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} * \frac{d}{c}$

Arup skrev:
kommer detta från

$\frac{a}{b} / \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} * \frac{d}{c}$

Menar du uträkningen jag gjorde?

I så fall nej.

Det kommer av (1/a)*b = b/a

Arup skrev:
kommer detta från

$\frac{a}{b} / \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} * \frac{d}{c}$

Inte riktigt...

finns det nått bevis för hur vi delar nämaren $\frac{2^{x} + x^{3}}{3^{x} + x^{2}}$

Vad menar du med "bevis"?

Det är en vanlig förkortning.

Vi tar ett enklare fall:

Säg att vi har bråket $\frac{a}{b}$ och vi vill förkorta det med $a$ , dvs vi vill dividera både täljare och nämnare med $a$ .

Då blir det nya bråket $\frac{\frac{1}{a}\cdot a}{\frac{1}{a}\cdot b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}$

Är du med på det?

När man delar bråk finns det ju ett bevis varför vi inverterar talen

Arup skrev:
När man delar bråk finns det ju ett bevis varför vi inverterar talen

Ja, men det kan vi ta senare, för det är inte den räkneregeln vi använder här.

Är du med på vad jag skrev i svar #17?

Och det jag skrev I svar #20?

inte riktigt eftersom jag har inte blivit van att tänka som du påpekade i #17 och #20

OK, vi tar #17 på ett enklare sätt:

När du ska multiplicera t.ex. 5 med 1/6 så blir resultatet 5/6.

Detta är eftersom talet 5 multipliceras med täljaren i bråket 1/6.

På samma sätt är resultatet av (1/a)*b lika med b/a eftersom talet b multipliceras med täljaren i bråket 1/a.

Är du med på det?

ja

OK bra, dä är du alltså med på.det som står i svar #17.

Nu tar vi svar #20, där vi har bråket $\frac{a}{b}$ och vi vill förkorta detta med $a$ .

Vi dividerar då både täljare och nämnare med $a$ .

Att dividera med $a$ är samma sak som att multiplicera med $\frac{1}{a}$ .

Vi vill alltså multiplicera både täljare och nämnare med $\frac{1}{a}$ .

Vi börjar med att titta på täljaren I bråket $\frac{a}{b}$ .

När vi multiplicerar $\frac{1}{a}$ med täljaren $a$ blir resultatet $\frac{1}{a}\cdot a=\frac{a}{a}=1$

Nu tittar vi på nämnaren I bråket $\frac{a}{b}$ .

När vi multiplicerar $\frac{1}{a}$ med nämnaren $b$ blir resultatet $\frac{1}{a}\cdot b=\frac{b}{a}$

Sammantaget blir alltså det förkortade bråket $\frac{1}{\frac{b}{a}}$

Är du med på det som står i svar #20 då?

Arup skrev:
ja

Arup, det här är normalt faktorisering av två uttryck. Jag tror ni har lärt det redan i matte 2 och 1, kanske matte 3 men jag minns inte. Anyhow, Yngve hjälper dig så skål till det :)

ja yngve jag är med

Arup skrev:
ja yngve jag är med

OK toppen.

Då kan vi gå vidare från svar #12.

Använd nu en potenslag för att förenkla nämnarens första term och titta sedan på hur alla fyra termer beter sig när x går mot oändligheten.

Då är det bra att veta att varje exponentialfunktion (där basen är större än 1 och exponenten är positiv) växer snabbare än varje potensfunktion, oavsett exoonent.

Yngve skrev:

Då är det bra att veta att varje exponentialfunktion (där basen är större än 1 och exponenten är positiv) växer snabbare än varje potensfunktion, oavsett exoonent.

Mycket bra anteckning. Det är hur jag löste det faktiskt :). Man måste använda lite analysförmåga av funktioner för att lösa problemet!

analysfunktioner ?

Arup skrev:
analysfunktioner ?

Frågar du mig eller shkan?

båda

Arup skrev:
båda

Vad jag menar är att kunna förstå hur olika funktioner fungerar och deras egenskaper. Sedan använder man kunskaper för att lösa ett problem.

Är du med på att ursprungsbråket kan skrivas så här?

$\frac{1+\frac{x^3}{2^x}}{\frac{3^x}{2^x}+\frac{x^2}{2^x}}$

Om ja, visa hur du använder en potenslag för att skriva om nämnarens första term och dela dina funderingar kring vad som händer med de två termerna i täljaren och de två termerna i nämnaren när $x$ gåt mot oändligheten.

JA

eller Yngve har du ett bevis hur du kommer fram till ditt resonemang ?

Arup skrev:
eller Yngve har du ett bevis hur du kommer fram till ditt resonemang ?

Vilken del av resonemanget hittills vill du se ett bevis för?

Arup skrev:
eller Yngve har du ett bevis hur du kommer fram till ditt resonemang ?

Vad menar du med bevis Arup? Det är typ bara en faktorisering och sedan analysförmåga som talar för sig själv för att lösa problemet.. :). Det är en grunläggande färdighet inom matematik om att kunna faktorisera uttryck.

ok du har nog rätt. Jag måste ha över komplicerat uppgiften

Arup skrev:
ok du har nog rätt. Jag måste ha över komplicerat uppgiften

Yes. Tack för att du insåg det 😅

Jag ser inte var vi gör en faktorisering.

Yngve skrev:
Jag ser inte var vi gör en faktorisering.

Vi bryter ut 2^x (är det inte en faktorisering?)

shkan skrev:

Vi bryter ut 2^x (är det inte en faktorisering?)

Aha, då förstår jag. Jo, det är en faktorisering. Jag såg det istället som att vi förkortar bråket med 2^x

Yngve skrev:
shkan skrev:

Vi bryter ut 2^x (är det inte en faktorisering?)

Aha, då förstår jag. Jo, det är en faktorisering. Jag såg det istället som att vi förkortar bråket med 2^x

Olika sätt att beskriva samma sak, haha! :)

👍

Men Arup, är du med på alla steg hela vägen fram hit och hur ser din fortsättning ut?

OK, men vad blev det av steget att använda en potenslag för att skriva om nämnarens första term?

Jag skickar en tydligare bild

Jag ser inte var jag skulle använda potenslagarna

Arup skrev:
Jag ser inte var jag skulle använda potenslagarna

När jag skriver "nämnarens första term" så menar jag termen $\frac{3^x}{2^x}$ .

Leta efter lämplig potenslag I ditt formelblad.

$(\frac{a^{n}}{b^{n}}) = {(\frac{a}{b})}^{n}$ ah ok

Arup skrev:
$(\frac{a^{n}}{b^{n}}) = {(\frac{a}{b})}^{n}$ ah ok

Just så.

Hur ser ditt uttryck ut då?

Ser du att täljaren har två termer och nämnaren har två termer?

Hur resonerar du kring hur var och en av dessa temer uppför sig då x går mot oändligheten?

så om jag har $(\frac{3^{x}}{2^{x}}) = {(\frac{3}{2})}^{x}$

Ok så när x går mot oändligheten kan jag väl bara stoppa in så stora tal som möjligt väl ?

Arup skrev:
så om jag har $(\frac{3^{x}}{2^{x}}) = {(\frac{3}{2})}^{x}$

Ok så när x går mot oändligheten kan jag väl bara stoppa in så stora tal som möjligt väl ?

Ja, det kan du göra.

Men (3/2)^x = 1,5^x, vilket du vet går mot oändligheten då x går mot oändligheten.

Hur är det med de tre andra termerna?

Ta dem en och en.

jag delar väl två stora tal med sig själv t ex $\frac{10000000000000}{100000000000000} = 1 ?$

Arup skrev:
jag delar väl två stora tal med sig själv t ex $\frac{10000000000000}{100000000000000} = 1 ?$

Du går för snabbt framåt. Du svarar inte på mina frågor och du följer inte mina tips.

Svara nu på följande frågor. Gör inget annat än det:

Vad är täljarens första term och vad händer med den när x går mot oändligheten?
Vad är täljarens andra term och vad händer med den när x går mot oändligheten?
Vad är nämnarens första term och vad händer med den när x går mot oändligheten?
Vad är nämnarens andra term och vad händer med den när x går mot oändligheten?

hur förenklar jag $\frac{1 + \frac{x^{3}}{2^{x}}}{}$

Arup skrev:
hur förenklar jag $\frac{1 + \frac{x^{3}}{2^{x}}}{}$

Arup svara på Yngves frågor dude

ok

Arup skrev:
hur förenklar jag $\frac{1 + \frac{x^{3}}{2^{x}}}{}$

Du ska inte förenkla.

Det där är täljaren och den består av två termer.

Den första termen är 1, den andra termen är x³/2^x

På samma sätt består även nämnaren av två termer.

Jag vill nu att du besvarar de fyra frågorna jag ställde i svar #57.

Säg till om du inte förstår frågorna.

Yngve jag gjorde som du sa i #57 och kom allt närmare noll

OK har du alltså löst uppgiften och förstått tillvägagångssättet?

Jag tror det.
Kan du visa mig hur du tänkte med papper och penna ?

Arup skrev:
Jag tror det.
Kan du visa mig hur du tänkte med papper och penna ?

Berätta hur du resonerade istället.

Det är bra att träna på det.

O. Egentligen experimentator jag i desmos för att komma till min slutats

Arup, jag ger dig bara min resonemang nu så att du kan lära dig hur man kan presentera en lösning:

Lösning:

Fråga: Bestäm gränsvärdet av uttrycket . $\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} + x^{3}}{3^{x} + x^{2}}$

Steg 1: Bryt ut (faktorisera) 2^x från båda täljare och nämnare: $\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} (1 + \frac{x^{3}}{2^{x}})}{2^{x} (\frac{3^{x}}{2^{x}} + \frac{x^{2}}{2^{x}})}$

Steg 2 : Dela 2^x med 2^x (dvs strycka bort): $\lim_{x \to \infty} \frac{(1 + \frac{x^{3}}{2^{x}})}{(\frac{3^{x}}{2^{x}} + \frac{x^{2}}{2^{x}})}$

Steg 3: Vi vet att 3^x/2^x = 1.5^x: $\lim_{x \to \infty} \frac{(1 + \frac{x^{3}}{2^{x}})}{(1 . 5^{x} + \frac{x^{2}}{2^{x}})}$

Steg 4: För att vi vet att 2^x växer mycket snabbare än x² och x³ vid stora värden, dvs att 2^x > x² och 2^x > x³ vid stora x-värden, innebär det att x²/2^x och x³/2^x blir noll. Detta innebär att uttrycket blir: $\lim_{x \to \infty} \frac{(1)}{(1 . 5^{x})}$ , vilket vi kan förstå blir noll om x går mot oändligheten.

Arup skrev:
Yngve jag vet principen när jag förkortar och förlänger bråk. Men, jag blir bara förvirrad när jag bar fler variabler att hantera. Liksom jag kan direkt dela båda sidorna med närmnarens och täljarens delare som i $\frac{}{3^{x} + x^{2}}$

Det kanske är fel tillfälle att påpeka det, men jag tror det är viktigt: det förekommer bara en variabel här, inte flera. Jag tror du menar något annat än variabel.

Laguna skrev:
Arup skrev:
Yngve jag vet principen när jag förkortar och förlänger bråk. Men, jag blir bara förvirrad när jag bar fler variabler att hantera. Liksom jag kan direkt dela båda sidorna med närmnarens och täljarens delare som i $\frac{}{3^{x} + x^{2}}$

Det kanske är fel tillfälle att påpeka det, men jag tror det är viktigt: det förekommer bara en variabel här, inte flera. Jag tror du menar något annat än variabel.

Sant!

Arup skrev:
O. Egentligen experimentator jag i desmos för att komma till min slutats

Om du hade svarat på mina fyra frågor i svar #57 så hade jag kunnat vägleda dig till insikterna om hur bråket uppträder då x går mot oändligheten.

Du skrev i svar #62 att du hade gjort det men sedan i svar #66 så skriver du istället att du laborerat i Desmos.

Hur ska du ha det. Besvarade du frågorna eller inte?

Om inte, varför inte?

======

Orsaken till att jag undrar är för att jag vill försöka förstå hur jag ska kunna ge dig hjälp på ett för alla parter effektivt sätt.

Jag förstod inte riktigt hur jag kunde lösa som du påpekade i #57. Jag fastande dessvärre

Det tar lite tid för mig att bli van med gränsvärden :/

Arup skrev:
Jag förstod inte riktigt hur jag kunde lösa som du påpekade i #57. Jag fastande dessvärre

Arup, det som yngve frågade är bara om du vet vad alla termer är i uttrycket och sedan vad som händer om du gör x väldigt, väldigt stort (x går mot oändligheten). Förstår du min lösning i alla fall #67?

Japp

Jag ska öva på liknande övningar

Arup skrev:
Japp

Bra då! Bra idé

Arup skrev:
Jag förstod inte riktigt hur jag kunde lösa som du påpekade i #57. Jag fastande dessvärre

I svar #57 skrev jag att du går för snabbt framåt. Jag bad dig därför att bara besvara fyra frågor, inte gå vidare och försöka slutföra lösningen.

Men ändå var det precis så du gjorde, och körde fast. Då hade det varit lämpligt att visa hur långt du hade kommit, dvs att uttryckligen besvara de fyra frågorna, och sedan ställa frågor om hur du kan gå vidare.

Jag förstår att du vill gå vidare och lösa uppgiften på egen hand. Det är en väldigt bra egenskap som kommer att hjälpa dig mycket framöver.

Men jag tror att vi kan spara massor av tid både för dig och för oss om du försöker vara lite mer lyhörd, följa våra tips och, framför allt, fråga om det är saker vi skriver som du inte förstår eller om det är ställen där du kör fast

Ok

OK bra, förlåt om jag uttrycker mig gnälligt

Arup skrev:
När man delar bråk finns det ju ett bevis varför vi inverterar talen

Nu kan vi ta upp detta.

Vill du alltså ha en förklaring av räkneregeln $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ ?

I så fall tror jag att det är bra träning för dig att först pröva själv, genom att göra följande:

Förläng hela bråket med $b$ . Förenkla.
Förläng hela bråket med $d$ . Förenkla.

Yngve men jag trodde att avsikten i inlägg 56 var att jag skulle undersöka och experimentera vad som hände när x går mot oändligheten. Vilket jag väl gjorde i Desmos. Eller ?

Arup skrev:
Yngve men jag trodde att avsikten i inlägg 56 var att jag skulle undersöka och experimentera vad som hände när x går mot oändligheten. Vilket jag väl gjorde i Desmos. Eller ?

Det framgår inte vad du gjorde eftersom du inte svarade på frågorna.

Min förhoppning var att ditt svar skulle kunna se ut som något i den här stilen:

Täljarens första term är 1. Den har värdet 1 även när x går mot oändligheten.
Täljarens andra term är x³/2^x. Den termen går mot 0 då x går mot oändligheten. Detta eftersom 2^x växer snabbare än x³ då x går mot oändligheten.
Nämnarens första term är 1,5^x. Den går mot oändligheten då x går mot oändligheten.
Nämnarens andra term är x²/2^x. Den termen går mot 0 då x går mot oändligheten. Detta eftersom 2^x växer snabbare än x² då x går mot oändligheten.

Om du sedan använde Desmos, grafräknare, värdetabeller eller "intuition" för att komma fram till beteenden när x går mot oändligheten lät jag vara upp till dig.