Bestäm gränsvärden

Nej mycket bättre:

x [ln(x+1) – ln x] = x  ln[(x+1)/x]  = x ln (1+1/x) = ln [ (1+1/x)^x ] —> ln e när x—> oändl

Publicerade en annan idé nyss men raderar den.

Gränsvärdet blir 1.

Ledtråd: Skriv om $\lim_{x\to \infty}$ som $\lim_{h\to 0}$, använd logaritmlagarna och derivatans definition.

D4NIEL skrev:

Gränsvärdet blir 1.

Ledtråd: Skriv om $\lim_{x\to \infty}$ som $\lim_{h\to 0}$, använd logaritmlagarna och derivatans definition.

Varför derivatans definition ? 

Marilyn skrev:

Nej mycket bättre:

 

x [ln(x+1) – ln x] = x  ln[(x+1)/x]  = x ln (1+1/x) = ln [ (1+1/x)^x ] —> ln e när x—> oändl

 

Publicerade en annan idé nyss men raderar den.

Åh detta var ännu smidigare. Tack!! 

destiny99 skrev:

D4NIEL skrev:

Gränsvärdet blir 1.

Ledtråd: Skriv om $\lim_{x\to \infty}$ som $\lim_{h\to 0}$, använd logaritmlagarna och derivatans definition.

Varför derivatans definition ? 

Jag tror det är vanligt att känna till att $\ln^\prime(1)=1$, det är inte lika vanligt att känna till $\lim_{x\to \infty}(1+\frac1x)^x$.

D4NIEL skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

D4NIEL skrev:

Gränsvärdet blir 1.

Ledtråd: Skriv om $\lim_{x\to \infty}$ som $\lim_{h\to 0}$, använd logaritmlagarna och derivatans definition.

Varför derivatans definition ? 

Jag tror det är vanligt att känna till att $\ln^\prime(1)=1$, det är inte lika vanligt att känna till $\lim_{x\to \infty}(1+\frac1x)^x$.

I häftet definierar de e såhär.

Jamen, det var ju bekvämt! :)

Det finns många sätt att definiera e. Bra att känna till.

Du kan rita grafen av y = 1/x. Du drar ett lodrätt streck vid x = 1 och ett till vid a > 1 så att arean under kurvan mellan de lodräta strecken är 1. I så fall är a = e.

Eller du kan studera derivatan till funktionen y = a^x. Om derivatan är a^x så är a = e.

Olika böcker definierar på olika sätt. Vad som kan vara litet knepigt är att visa att de olika definitionerna ger samma värde för e.