Bestäm g(x)

3⁵ är en konsant (inga x).

Har du läst: derivatan-av-sammansatta-funktioner

joculator skrev:

3⁵ är en konsant (inga x).

Har du läst: derivatan-av-sammansatta-funktioner

juste okej då är jag med. 3*3*3*3*3 är 243. 

den inre derivatan är då 5x - 6 va? lite osäker på vad man gör med roten ur där

santas_little_helper skrev:

joculator skrev:

3⁵ är en konsant (inga x).

Har du läst: derivatan-av-sammansatta-funktioner

juste okej då är jag med. 3*3*3*3*3 är 243. 

den inre derivatan är då 5x - 6 va? lite osäker på vad man gör med roten ur där

Låt f(u) vara den yttre funktionen, och h(x) den inre, dvs g(x)=f(h(x)), då gäller att:

$f\left(u\right)=3^5\times \sqrt{u}=243\sqrt{u}$ (yttre funktion)

$h\left(x\right)=5x-6$ (inre funktion)

Vad blir f'(u) resp. h'(x)? Vad blir g'(x) om du deriverar med hjälp av kedjeregeln?

Tegelhus skrev:

santas_little_helper skrev:

Visa föregående citat

joculator skrev:

3⁵ är en konsant (inga x).

Har du läst: derivatan-av-sammansatta-funktioner

juste okej då är jag med. 3*3*3*3*3 är 243. 

den inre derivatan är då 5x - 6 va? lite osäker på vad man gör med roten ur där

Låt f(u) vara den yttre funktionen, och h(x) den inre, dvs g(x)=f(h(x)), då gäller att:

$f\left(u\right)=3^5\times \sqrt{u}=243\sqrt{u}$ (yttre funktion)

$h\left(x\right)=5x-6$ (inre funktion)

Vad blir f'(u) resp. h'(x)? Vad blir g'(x) om du deriverar med hjälp av kedjeregeln?

g(x)=f(h(x))

Hmm. f(x) = $\sqrt{x }$---> f' (x) = $\frac{1}{(2\sqrt{x)}}$

f(u) = 3⁵ * $\sqrt{u}$= 243$\sqrt{u}$ ---> f'(u) = $\frac{243}{2\sqrt{u}}$ 

h(x) = 5x -6  ---> h'(x)= 5 bara va?

santas_little_helper skrev:

Tegelhus skrev:

Visa föregående citat

santas_little_helper skrev:

joculator skrev:

3⁵ är en konsant (inga x).

Har du läst: derivatan-av-sammansatta-funktioner

juste okej då är jag med. 3*3*3*3*3 är 243. 

den inre derivatan är då 5x - 6 va? lite osäker på vad man gör med roten ur där

Låt f(u) vara den yttre funktionen, och h(x) den inre, dvs g(x)=f(h(x)), då gäller att:

$f\left(u\right)=3^5\times \sqrt{u}=243\sqrt{u}$ (yttre funktion)

$h\left(x\right)=5x-6$ (inre funktion)

Vad blir f'(u) resp. h'(x)? Vad blir g'(x) om du deriverar med hjälp av kedjeregeln?

g(x)=f(h(x))

Hmm. f(x) = $\sqrt{x }$---> f' (x) = $\frac{1}{(2\sqrt{x)}}$

f(u) = 3⁵ * $\sqrt{u}$= 243$\sqrt{u}$ ---> f'(u) = $\frac{243}{2\sqrt{u}}$ 

h(x) = 5x -6  ---> h'(x)= 5 bara va?

Ja, det ser helt rätt ut. Bra jobbat!

Då gäller det bara att derivera den sammansatta funktionen g(x).

Kedjeregeln säger att g'(x)=f'(h(x)) * h'(x)

Vad blir det om du sätter in de värden du har fått fram?

g'(x)=f'(h(x)) * h'(x)  --->  $\frac{243}{2\sqrt{u}}$* 5x - 6 * 5?

Du har kommit fram till:

$f\left(u\right)=3^5·\sqrt{u}$
$f\text{'}\left(u\right)=\frac{243}{2\sqrt{u}}$      vilket betyder att $f\text{'}\left(h\right(x\left)\right)=\frac{243}{2\sqrt{5x-6}}$    <----- ser du detta?

$h\left(x\right)=5x-6$

$h\text{'}\left(x\right)=5$

Nu skall du beräkna:

$g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(h\right(x\left)\right)·h\text{'}\left(x\right)=\frac{243}{2\sqrt{5x-6}}·5$

Och sen förenkla om det går.

Hmm Aaaahh okej jag förstår. Steg för steg

Men ska jag inte bestämma g'(3) och lägga in 3 i nämnaren?

Så $\frac{243}{2\sqrt{5x-6}}\times 5$ = $\frac{243}{2\sqrt{5\times 3-6}}\times 5$ och får det till 202,5

jo, det är g'(3) som du skall bestämma.

Om allt annat är korrekt så är 202,5 svaret.

joculator skrev:

jo, det är g'(3) som du skall bestämma.

Om allt annat är korrekt så är 202,5 svaret.

Allt annat verkar vara korrekt ja. Tack för hjälpen!

Ska gå igenom detta steg för steg men det blir mer självklart ju mer man nöter. Så är det ju

Skall uppgiften vara $3^5·\sqrt{5x-6}$eller $3·\sqrt[5]{5x-6}$?

3⁵$\sqrt{5x-6}$ står det

Vadå? Tänkte inte ens att det var nån skillnad. 5:an står precis ovanför där "roten ur" börjar så att säga. Kanten där och 3:an direkt brevid till vänster

Det är skillnad på $3^5\sqrt{x}$ och $3\sqrt[5]{x}$, då

$$\begin{gathered} 3^5\sqrt{x}=243\sqrt{x} \\ 3\sqrt[5]{x}=3\times \sqrt[5]{x}=3\times x^{1/5} \end{gathered}$$

Femman betyder helt olika saker i de båda fallen. I det första är femman kopplad till trean, dvs "tre upphöjt till fem", vilket ger 243. I det andra exemplet är 5:an kopplat till roten ur-tecknet, och betyder att man ska ta "femteroten" ur x. Se "rötter av högre grad" på https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/kvadratrotter-och-andra-rotter

Det är stor skillnad.

$\sqrt{5x-6}=\sqrt[2]{5x-6}=(5x-6)^{1/2}$

$\sqrt[5]{5x-6}=(5x-6)^{1/5}$

Kan du ladda upp en bild av uppgiften för säkerhets skull?

santas_little_helper skrev:

3⁵$\sqrt{5x-6}$ står det

Ja, och jag undrar fortfarande vilken av de båda tänkbara tolkningarna av detta uttryck som är den riktiga. Det du har skrivit tolkade jag som tre gånger femte roten ur 5x-6, men det verkar inte som om t ex joculator tolkar det likadant. Om jag menade 243 skulle jag skriva det, och inte 3⁵.

Vilken är det? 

Det där är 3 gånger femteroten ur (5x-6), dvs $3\cdot (5x-6)^{1/5}$.

Du kan använda samma regler för derivering som tidigare, men med en annan exponent.

3$\sqrt[5]{x}$ = 3 $\times \sqrt[5]{x}$ =3^1/5

så f(u) = 3^1/5 * $\sqrt{u}$

f' (u) = $\frac{1,25}{2\sqrt{u}}$vilket betyder att f'(h)(x))=$\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}$

g'(x) = f'(h(x)) * h' (x) = $\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}\times 5$

Blir $\frac{1,25}{2\sqrt{5*3-6}}*5$ = 1,04 får jag. Är detta korrekt? Har bytt ut exponenten

santas_little_helper skrev:

3$\sqrt[5]{x}$ = 3 $\times \sqrt[5]{x}$ =3^1/5

så f(u) = 3^1/5 * $\sqrt{u}$

f' (u) = $\frac{1,25}{2\sqrt{u}}$vilket betyder att f'(h)(x))=$\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}$

g'(x) = f'(h(x)) * h' (x) = $\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}\times 5$

Blir $\frac{1,25}{2\sqrt{5*3-6}}*5$ = 1,04 får jag. Är detta korrekt? Har bytt ut exponenten

Tyvärr, inte riktigt. Det gäller att $3\sqrt[5]{x}=3\times \sqrt[5]{x}=3\times x^{1/5}$

vilket ger

$f\left(u\right)=3\times x^{1/5}$

Vad blir då f'(u)?

Tegelhus skrev:

santas_little_helper skrev:

3$\sqrt[5]{x}$ = 3 $\times \sqrt[5]{x}$ =3^1/5

så f(u) = 3^1/5 * $\sqrt{u}$

f' (u) = $\frac{1,25}{2\sqrt{u}}$vilket betyder att f'(h)(x))=$\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}$

g'(x) = f'(h(x)) * h' (x) = $\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}\times 5$

Blir $\frac{1,25}{2\sqrt{5*3-6}}*5$ = 1,04 får jag. Är detta korrekt? Har bytt ut exponenten

Tyvärr, inte riktigt. Det gäller att $3\sqrt[5]{x}=3\times \sqrt[5]{x}=3\times x^{1/5}$

vilket ger

$f\left(u\right)=3\times x^{1/5}$

Vad blir då f'(u)?

Hmm exponenten går ner och då blir det väl 1/5x? Eller?

santas_little_helper skrev:

Tegelhus skrev:

Visa föregående citat

santas_little_helper skrev:

3$\sqrt[5]{x}$ = 3 $\times \sqrt[5]{x}$ =3^1/5

så f(u) = 3^1/5 * $\sqrt{u}$

f' (u) = $\frac{1,25}{2\sqrt{u}}$vilket betyder att f'(h)(x))=$\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}$

g'(x) = f'(h(x)) * h' (x) = $\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}\times 5$

Blir $\frac{1,25}{2\sqrt{5*3-6}}*5$ = 1,04 får jag. Är detta korrekt? Har bytt ut exponenten

Tyvärr, inte riktigt. Det gäller att $3\sqrt[5]{x}=3\times \sqrt[5]{x}=3\times x^{1/5}$

vilket ger

$f\left(u\right)=3\times x^{1/5}$

Vad blir då f'(u)?

Hmm exponenten går ner och då blir det väl 1/5x? Eller?

Om vi tittar på deriveringsreglerna för funktionen $x^n$ säger de att funktionen har derivatan $n\times x^{n-1}$

I ditt fall är $n=\frac{1}{5}$, vilket ger att:

$$\begin{gathered} f\left(u\right)=3\times u^{1/5} \\ f\text{'}\left(u\right)=3\times \frac{1}{5}\times u^{(1/5)-1}=\frac{3}{5}\times u^{-(4/5)}=\frac{3}{5u^{4/5}} \end{gathered}$$

Tegelhus skrev:

santas_little_helper skrev:

Visa föregående citat

Tegelhus skrev:

santas_little_helper skrev:

3$\sqrt[5]{x}$ = 3 $\times \sqrt[5]{x}$ =3^1/5

så f(u) = 3^1/5 * $\sqrt{u}$

f' (u) = $\frac{1,25}{2\sqrt{u}}$vilket betyder att f'(h)(x))=$\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}$

g'(x) = f'(h(x)) * h' (x) = $\frac{1,25}{2\sqrt{5x-6}}\times 5$

Blir $\frac{1,25}{2\sqrt{5*3-6}}*5$ = 1,04 får jag. Är detta korrekt? Har bytt ut exponenten

Tyvärr, inte riktigt. Det gäller att $3\sqrt[5]{x}=3\times \sqrt[5]{x}=3\times x^{1/5}$

vilket ger

$f\left(u\right)=3\times x^{1/5}$

Vad blir då f'(u)?

Hmm exponenten går ner och då blir det väl 1/5x? Eller?

Om vi tittar på deriveringsreglerna för funktionen $x^n$ säger de att funktionen har derivatan $n\times x^{n-1}$

I ditt fall är $n=\frac{1}{5}$, vilket ger att:

$$\begin{gathered} f\left(u\right)=3\times u^{1/5} \\ f\text{'}\left(u\right)=3\times \frac{1}{5}\times u^{(1/5)-1}=\frac{3}{5}\times u^{-(4/5)}=\frac{3}{5u^{4/5}} \end{gathered}$$

Den va knepig att förstå. (1/5) -1. hmm. Varför vart det -(4/5) där?

Nu vart jag förvirrad på alla steg. Detta var f')u) va?

Måste väl även ha h'(x) va?

Hur går jag vidare? Har fastnat lite

santas_little_helper skrev:

Den va knepig att förstå. (1/5) -1. hmm. Varför vart det -(4/5) där?

När man deriverar en potensfunktion $x^n$ tar man i derivatan bort en etta från exponenten, det vill säga derivatan blir $n\times x^{n-1}$. Det är därför exempelvis derivatan av $x^3$ blir $3x^2$ (notera att det i derivatan står en 2:a i exponenten, inte en trea, eftersom 3-1=2).

Samma sak gäller för kvadratroten: $\sqrt{x}=x^{1/2}$, derivatan av det blir $\frac{1}{2}\times x^{1/2-1}=\frac{1}{2}\times x^{-1/2}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{x^{1/2}}=\frac{1}{2x^{1/2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Precis på samma sätt fungerar det i ditt fall. Du har den yttre funktionen $3\times \sqrt[5]{u}=3\times u^{1/5}$, där exponenten är en femtedel, dvs 1/5. Subtraherar man 1 från det får man $\frac{1}{5}-1=-\frac{4}{5}$. Därför blir derivatans exponent just -4/5.

santas_little_helper skrev:

Nu vart jag förvirrad på alla steg. Detta var f')u) va?

Måste väl även ha h'(x) va?

Ja, det är enbart den yttre funktionen. Du måste fortfarande ha med den inre funktionen h(x) för att derivera hela den sammansatta funktionen g(x) - precis som tidigare. h(x) och h'(x) är dock precis samma sak som tidigare, det är bara den yttre funktionen som är annorlunda nu.

Vilket eller vilka av följande steg hänger du inte med på?

1. u-derivatan av $u^n$ är $n\cdot u^{n-1}$
2. Om då $n=\frac{1}{5}$ så är u-derivatan av $u^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\cdot u^{\frac{1}{5}-1}$
3. $\frac{1}{5}-1=\frac{1}{5}-\frac{5}{5}=-\frac{4}{5}$
4. u-derivatan av $u^{\frac{1}{5}}$ är då $\frac{1}{5}\cdot u^{-\frac{4}{5}}$
5. $a^{-b}=\frac{1}{a^b}$
6. u-derivatan av $u^{\frac{1}{5}}$ är då $\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{u^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5u^{\frac{4}{5}}}$

3 gånger femteroten ur (5x-6)  dvs  3⋅ (5x − 6)^1/5 --->  3$\sqrt[5]{x} = 3 \times \sqrt[5]{x} = 3\times x^{1/5}$

xⁿ ---> n $\times$x^n-1

n=$\frac{1}{5}$:

f(u)  =  3 × u^1/5 

f'(u)  =  3 × $\frac{1}{5}$ × u^(1/5)-1 = $\frac{3}{5}$ × u^-(4/5) =$\frac{3}{5u^{4/5}}$

h(x) = 5x−6  ---> h'(x)=5

Denna var inte så simpel ändå. Trodde 5x-6 var inbakad i f'.

Men okej hmm då blir g' (x) = f' (h(x)) * h'(x) = $\frac{3}{5x-6^{4/5}}$ * 5

Eller?

Nära, men lite kvar. 5x-6 är inbakad i f'. Tänk på att u=h(x)=5x-6. Du ska alltså inte multiplicera med 5x-6, utan stoppa in det i f'(u). Vad får du då?

(Du ska dock fortfarande multiplicera med h'(x), alltså 5, precis som du har gjort. Där ska du inte ändra någonting)

$\frac{3}{5x-6^{4/5}}\times 5$ 

santas_little_helper skrev:

$\frac{3}{5x-6^{4/5}}\times 5$

Nästan helt rätt!

Tänk dock på att om du skriver sådär så kopplas exponenten 4/5 enbart till 6:an. Du vill koppla det till hela uttrycket för u. För att göra det använder du parenteser - de är viktiga.

Dessutom verkar en femma ha gått förlorad (tänk på att du både hade en 5:a i nämnaren sen tidigare, och att det fanns en 5:a i uttrycket för u).

Därför blir det:

$\frac{3}{5{(5x-6)}^{4/5}}\times 5$

Går det att förenkla?

Ahhh ja såklart okej. 

Båda 5:orna kan man stryka va så det blir kvar $\frac{3}{{(5x-6)}^{4/5}}$

Och g'(3) så byter man ut x:et mot en 3:a så det blir $\frac{3}{{(5*3-6)}^{4/5}}$

Är det rätt?

Ja, precis så!

$\frac{3}{{(5*3-6)}^{4/5}}=$0,52 får jag