Bestäm funktionens största/minsta värdet

Du har deriverat funktionen och tagit reda på var derivatan är 0 - bra! Funktionens största och minsta värde kan antingen vara i någon av dessa punkter, eller i intervallets randpunkter, d v s x = -6 och x = 5. Beräkna f(x) för dessa fyra x-värden och undersök vilket av dem som är funktionens största respektive minsta värde. 

Du kan se på själva ekvationen att det är en tredjegradsfunktion med positiv koefficient för x³-termen, så den går i stort sett så här: /. Då kan man dra slutsatsen att det negativa värdet som har derivatan 0 är en maximipunkt, och att den som är lite mer än 0 är en minimipunkt. Det är i alla fall bäst att räkna ut alla fyra funktionsvärdena.

Utifrån min teckentabell kan jag konstatera följande : 

• Då x=-6 har vi en terasspunkt 

• Då x= - roten ur (5/7)  har vi en maxpunkt 

• då x= roten ur (5/7) har vi en minpunkt 

då x=5 har vi en terasspunkt 

Eftersom $f'(x)$ är en andragradsfunktion så har ekvationen $f'(x)=0$ endast två lösningar.

Dessa är $x_1=\sqrt{\frac{5}{7}}$ och $x_2=-\sqrt{\frac{5}{7}}$.

Det gäller alltså att funktionen $f(x)$ endast har två stationära punkter (punkter där.derivatan är lila med 0)

Det gäller alltså inte att $f'(-6)$ är lika med 0.

Det gäller inte heller att $f'(5)$ är lika med 0.

Teckentabellen använder du endast till att ta reda på om $x_1$ och $x_2$ är min- max- eller terrasspunkter.

Du ska därför inte ha med vare sig $x=-6$ och $x=5$ i din teckentabell.

Men som Smaragdakena skrev i sitt svar: Du behöver inte ens göra en teckentabell för att lösa denna uppgift.

Eftersom du endast behöver ange det minsta och största värdet så räcker det att du beräknar funktionsvärdet vid de fyra x-koordinaterna $x_1$, $x_2$, $x_3$ och $x_4$ och sedan jämför dem med varandra.

Det minsta och det största värdet måste nämligen återfinnas bland dessa fyra värden.

men smargdalena skrev ju att man ska utgå ifrån de 4 x värdena.. Förstår inte varför man inte ska använda sig av x=-6 och x=5 i teckentabellen?

Ja, du kan skriva in dessa x-värden i teckentabellen, men du kan inte skriva att derivatan är lika med 0 där, för det är den inte.

Men du har heller ingen nytta av att skriva in dessa värden i teckentabellen, för de ger ingen yttetligare information utöver den du redan har.

Teckentabellen är endast till för att bestämma om de stationära punkterna är min-, max- eller terrasspunkter. 

Denna funktion har endast två stationära punkter. Intervallets ändpunkter vid $x=-5$ och $x=6$ är inte stationära punkter eftersom derivatan där inte är lika med 0.

Säg till om det är något av det jag skriver som du inte förstår.

========

Smaragdalena skrev att du ska beräkna funktionens värde vid dessa fyra x-koordinater, dvs att du ska beräkna $f(-6)$, $f(-\sqrt{\frac{5}{7}})$, $f(\sqrt{\frac{5}{7}})$ och $f(5)$.

Är det så man ska göra 

Minimi punkten är roten ur (5/7)

Ja så kan du göra.

Om jag skulle ha gjort en teckentabell så skulle jag ha valt x-värden i de båda vänstra intervallen som skulle göra det lite enklare att bestämma derivatans tecken.

Jag hade valt x = -1 och x = 0 där.

Nu har du alltså två kandidater till funktionens största och minsta värde, nämligen $f(-\sqrt{\frac{5}{7}})$ och $f(\sqrt{\frac{5}{7}})$.

De andra två kandidaterna är funktionsvärdena vid intervallets gränspunkter, dvs $f(-6)$ och $f(5)$.

Rita en graf över funktionen i intervallet så ser du nog varför.

Jag vet inte hur jag ska skissa grafen 

Jag har gjort det åt dig med hjälp av desmos.com

Minpunkten är då x=rotenur(35)/7

maxpunkten är då x=-rotenur(35)/7 

enligt grafen