Bestäm funktionen
Funktionen f(x) = ax³ + bx² + cx + d har maximipunkt i (3,3), minimipunkt i (5,1) och inflexionspunkt i (4,2). Bestäm funktionen.
Okej så det jag vet är att:
f(3) = 3 f(5) = 1 f(4) = 2
f´(3) = 0 f´(5) = 0
f´´(4) = 0
Sedan har jag även löst derivatan där:
Förstaderivatan: 3ax² + 2bx + c
Andraderivatan: 6ax + 2b
Eftersom jag vet att f´´(4) = 0 så har jag fått fram att 24a + 2b = 0 och sedan att
b = -12a.
Sedan vet jag dock inte hur jag ska komma vidare. Jag tänker att det behövs göras ett ekvationssystem men vet ej hur jag ska göra då både c och d måste lösas.
Jag har testat göra ekvationsystem av f´(3) = 0 och f´(5) = 0 då jag har kunnat byta ut b mot -12a men det blir inte rätt. Och jag vet inte hur jag ska göra ett ekvationssystem av f(3) = 3, f(5) = 1 och f(4) = 2 eftersom att d:et är inblandat. Hur kommer jag vidare?
Att ställa upp och lösa ett ekvationssystem där man utnyttjar att f'(3) = f'(5) = 0 och att b = -12a verkar vara helt rätt metod. Det blir två ekvationer och två obekanta, så det borde vara genomförbart. När du sedan vet värdena på a, b och c kan du använda något av funktionsvärdena för att ta fram d.
Om du visar hur du har räknat, kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel. Däremot är vi usla på tankeläsning.
f´(3) = 0 ger: 3a3² + 6b + c = 0 27a + 6b + c = 0
f´(5) = 0 ger: 3a5² + 10b + c = 0 75a + 10b + c = 0
Om jag nu ska byta ut b mot -12a, får jag 6*-12a = -72a och 10*-12a = -120a
f´(3) = 0 ger då: 27a - 72a + c = 0 -45a + c = 0
f´(5) = 0 ger då: 75a - 120a + c = 0 -45a + c = 0
Jag får då samma ekvation i båda och att ställa upp ett ekvationssystem med dessa ger mig ingenting
Du har ju lyckats få ner antalet obekanta med 2 - jättebra!
Nu behöver du använda två av funktionsvärdena. Då får du ett nytt ekvationssystem med två variabler (a och d) och två obekanta. Precis som jag trodde förra gången, så borde det gå att lösa. Kommer du fram till samma sak två gånger igen får man byta ut en av ekvationerna mot den som bygger på det tredje funktionsvärdet. Förhoppningsvis skall det räcka, annars är de som konstruerat uppgiften sadister!
Hej tissam812
Vad långt du kom! Jag kom ungefär lika långt, men sen var det stopp.
Till sist bestämde jag mig för att sätta in värdena i grundfunktionen och då fick jag två ekvationer där jag kunde lösa ut d och plötsligt kunde jag lösa ut c från den och då släppte det.
Hoppas att det här kan vara till hjälp för dig. Annars får du fråga mer.
En hjälp för att se att man räknat rätt är att rita in funktionerna med de uppgifter du fick först. Det gick ganska lätt att ana grundfunktionen och sedan förstaderivatan och sist andraderivatan. Den är ju svår att veta lutningen på, men att det är en positiv lutning och att den går genom punkten (4;0) fick vi i grundförutsättningen med inflexionspunkten i (4;2)
Ja nu lyckades jag lösa den. Tack!
