bestäm funktionen

Integrera v(t). Skriv om med dubbla vinkeln och gör lämplig substitution.

Dr. G skrev:

Integrera v(t). Skriv om med dubbla vinkeln och gör lämplig substitution.

Hur integrerar man? v(t) är ju bara bokstäver inga tal?

Du har ett sinusuttryck och ett cosinusuttryck i v(t). Du kan därför integrera v(t) med avseende på t, och då få en funktion s(t) som beskriver partikelns sträcka. :)

Smutstvätt skrev:

Du har ett sinusuttryck och ett cosinusuttryck i v(t). Du kan därför integrera v(t) med avseende på t, och då få en funktion s(t) som beskriver partikelns sträcka. :)

Jag har nu integrerat v(t) och fick att s(t)=-(cos^4(t))/2. Men jag vet inte hur jag ska gå vidare, snälla hjälp mig :) 

Tack på förhand!!

Det stämmer, men du har glömt en konstant. Vi vet att $s\left(t\right)={\int }_0^t\sin \left(2x\right){\cos }^2\left(x\right)dx$ är sträckan partikeln rört sig från startpunkten (vi startar vid $t=0$). Vad blir $s(t)$?

Därefter: Vilket t maximerar s(t)?

Smutstvätt skrev:

Det stämmer, men du har glömt en konstant. Vi vet att $s\left(t\right)={\int }_0^t\sin \left(2x\right){\cos }^2\left(x\right)dx$ är sträckan partikeln rört sig från startpunkten (vi startar vid $t=0$). Vad blir $s(t)$?

 

Därefter: Vilket t maximerar s(t)?

det blir s'(t)=sin(2t)cos(t)²  ?

Smutstvätt skrev:

Det stämmer, men du har glömt en konstant. Vi vet att $s\left(t\right)={\int }_0^t\sin \left(2x\right){\cos }^2\left(x\right)dx$ är sträckan partikeln rört sig från startpunkten (vi startar vid $t=0$). Vad blir $s(t)$?

 

Därefter: Vilket t maximerar s(t)?

jag förstår inte vad du menar du har skrivit s(t)=.......... sen har du skrivit vad blir s(t) ? menar du vad blir s'(t) ?

hur gör man efter s(t)=-cos^4t/2 ?

Jag tog s(t)-s(0) men efter det vet jag inte vad man ska göra.

Den här tråden försvann i min inkorg. Nedan följer ett lösningsförslag, för framtida personer med liknande problem. 

Vi har formeln för hastigheten, $v\left(t\right)=\sin \left(2t\right){\cos }^2\left(t\right)$. Om vi integrerar denna, från tiden 0 till tiden t, får vi formeln för sträckan vid tiden t: 

$s\left(t\right)={\int }_0^{t}v\left(t\right)dt={\int }_0^t\sin \left(2t\right){\cos }^2\left(t\right)dt$

Integralen kan vi beräkna med hjälp av en primitiv funktion: 

$$\begin{gathered} s\left(t\right)={\int }_0^t\sin \left(2t\right){\cos }^2\left(t\right)dt={\int }_0^{t}2\sin \left(t\right)\cos \left(t\right){\cos }^2\left(t\right)dt= \\ {\int }_0^{t}2\sin \left(t\right){\cos }^3\left(t\right)dt={\left[-\frac{{\cos }^4\left(t\right)}{2}\right]}_0^t=-\frac{{\cos }^4\left(t\right)}{2}+\frac{{\cos }^4\left(0\right)}{2}=-\frac{{\cos }^4\left(t\right)-1}{2} \end{gathered}$$

För att hitta hur långt partikeln kommer som längst, vill vi hitta extremvärdena hos $s(t)$, vilket vi kan göra genom att derivera den och hitta derivatans nollställen. Eftersom s(t) är en primitiv funktion till v(t), kommer vi då att få tillbaka v(t). 

Vi vill hitta var hastigheten är noll, eftersom detta är de tillfällen då partikeln vänder tillbaka mot startpunkten, och hastigheten måste vara noll någonstans under den processen, eftersom partikeln annars skulle fortsätta färdas "framåt" (bort från punkten). 

$$\begin{gathered} v\left(t\right):=0\Rightarrow \sin \left(2t\right){\cos }^2\left(t\right)=0 \\ \sin \left(2t\right)=0 \mathrm{eller} {\cos }^2\left(t\right)=0 \\ {t}_{\sin \left(2t\right)=0}=n·\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ {t}_{{\cos }^2\left(t\right)=0}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+n·\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Lösningarna överlappar varandra. Vi kan undersöka vilka t som ger maximum: 

$s\left(n·\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=-\frac{{\cos }^4\left(n·\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-1}{2}=\left\{\begin{array}{l}0, \mathrm{om} \mathrm{n} \mathrm{är} \mathrm{jämnt}\\ \frac{1}{2}, \mathrm{om} \mathrm{n} \mathrm{är} \mathrm{udda}\end{array}\right.$

Det maximala avståndet är alltså 0,5 längdenheter. :)