bestäm funktionen (Matematik/Matte 2/Algebra)

Du verkar ha kommit fram till att

$f(x)=k(x-4)^2$

Förenkla f(0). Värdet på f(0) är också givet.

Vad är symmetrilinjen?
Är det ( 4,0)

k(4-4)^2=0

k*0 =0

k=0 ?

Nej symmetrilinjen är inte en punkt utan en linje.

Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena.

Om de båda nollställena ligger i samma punkt så går även symmetrilinjen genom den punkten.

Så det du behöver ta reda på är var nollställena ligger.

--------

För att algebraiskt förstå att symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena kan du se på pq-formelns struktur.

Enligt pq-formeln så ligger nollställena till funktionen $x^2+px+q$ vid $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ .

Det innebär att det ena nollstället ligger $\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ "till höger" om symmetrilinjen $x=-\frac{p}{2}$ och att det andra nollstället ligger $\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ "till vänster" om samma symmetrilinje.

Hängde du med på det?

solskenet skrev:
andragradsfunktionen saknar negativa värden, tangerar x-axeln i (4,0) och skär i y-axeln (0,4), bestäm funktionen.

Kurvan du har ritat saknar inte negativa värden, tangerar inte x-axeln i (4,0) och skär inte y-axeln i (0,4). Den har alltså väldigt få egenskaper gemensamma med den kurva som beskrivs i uppgiften. Rita en ny kurva som uppfyller dessa villkor.

Är det så att det är några av orden som du inte förstår? Vet du vad man menar när man säger att en kurva saknar negativa värden? Vet du vad det betyder när man skriver att kurvan tangerar x-axeln i en viss punkt? Vet du vad det betyder att kurvan skär y-axeln i en viss punkt?

Yngve skrev:
Nej symmetrilinjen är inte en punkt utan en linje.
Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena.
Om de båda nollställena ligger i samma punkt så går även symmetrilinjen genom den punkten.
Så det du behöver ta reda på är var nollställena ligger.
--------
För att algebraiskt förstå att symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena kan du se på pq-formelns struktur.
Enligt pq-formeln så ligger nollställena till funktionen $x^2+px+q$ vid $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ .
Det innebär att det ena nollstället ligger $\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ "till höger" om symmetrilinjen $x=-\frac{p}{2}$ och att det andra nollstället ligger $\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ "till vänster" om samma symmetrilinje.
Hängde du med på det?

Svar på din fråga :

Jag hängde inte riktigt med på hur -p/2 hänger ihop med diskriminanten.. Skulle uppskattas om du kunde förtydliga det du menade där. :)

Vad gäller nollställen så finns endast en nollställe som är x=4 där går symmetrilinjen igenom i en lodrät linje.

Smaragdalena skrev:
solskenet skrev:
andragradsfunktionen saknar negativa värden, tangerar x-axeln i (4,0) och skär i y-axeln (0,4), bestäm funktionen.

Kurvan du har ritat saknar inte negativa värden, tangerar inte x-axeln i (4,0) och skär inte y-axeln i (0,4). Den har alltså väldigt få egenskaper gemensamma med den kurva som beskrivs i uppgiften. Rita en ny kurva som uppfyller dessa villkor.
Är det så att det är några av orden som du inte förstår? Vet du vad man menar när man säger att en kurva saknar negativa värden? Vet du vad det betyder när man skriver att kurvan tangerar x-axeln i en viss punkt? Vet du vad det betyder att kurvan skär y-axeln i en viss punkt?

Skulle en sån graf funka?

Alla dessa begrepp du nämnde ovan är begripliga för mig. Förutom begreppet ”tangerar vid ett visst x värde” .

solskenet skrev:

Svar på
Jag hängde inte riktigt med på hur -p/2 hänger ihop med diskriminanten.. Skulle uppskattas om du kunde förtydliga det du menade där. :)

Se nedan.

Vad gäller nollställen så finns endast en nollställe som är x=4 där går symmetrilinjen igenom i en lodrät linje.

Ja det stämmer. Så symmetrilinjen är i detta fallet den lodräta linje som går genom punkten (4, 0).

-------------

Om symmetrilinjen och diskriminanten, se figur nedan.

Eftersom de båda nollställena ligger vid $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}$ så ligger det ena nollstället vid $x_1=-\frac{p}{2}-\sqrt{D}$ och det andra nollstället vid $x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{D}$ . Det betyder att båda nollställena ligger på var sin sida om, och lika långt ifrån symmetrilinjen $x=-\frac{p}{2}$ :

Avståndet mellan symmetrilinjen och $x_1$ är $\sqrt{D}$ .
Avståndet mellan symmetrilinjen och $x_2$ är också $\sqrt{D}$

Om nu diskriminanten $D$ är lika med $0$ så blir ju nollställena $x_1=-\frac{p}{2}-\sqrt{0}=-\frac{p}{2}$ och $x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{0}=-\frac{p}{2}$ , dvs de sammanfaller. Vi har då en s.k. dubbelrot. Det sker när parabeln tangerar x-axeln i exakt en punkt. Symmetrilinjen är fortfarande $x=-\frac{p}{2}$ , dvs den går då genom nollställena.

Det jag lyckades att förstå är :

$\sqrt{D}$ som då är diskriminanten anger avståndet mellan symmetrilinjen och x1 och x2.(nollställen)
När det står $- \sqrt{D}$ så innebär det att avståndet mellan symmetri linjen och x1 är "sträckan" $- \sqrt{D}$
Om $\sqrt{D} = 0$ så kommer det inte finnas avstånd mellan x1 och x2 därför sammanfaller x1 och x2 i samma punkt och får samma lösning.
Ordet tangerar betyder i detta fall "sammanfalla" dvs. x1 sammanfaller i x2..

--------------------------------------------------------------

Om vi går tillbaka till uppgiften kan detta beskrivas med hjälp av formeln

k(x-x $_{0}$ )=f(x)

vi vet att symmetrilinjen går igenom x=4

(4-4) $\times$ k =0

Hur gör man här?

solskenet skrev:
Det jag lyckades att förstå är :
$\sqrt{D}$ som då är diskriminanten anger avståndet mellan symmetrilinjen och x1 och x2.(nollställen)

Diskriminanten är $D=(\frac{p}{2})^2-q$ . Inte $\sqrt{D}$ . Men det stämmer att avståndet mellan symmetrilinjen och $x_1$ är lika stort som avståndet mellan symmetrilinjen och $x_2$ och att detta avstånd är $\sqrt{D}$ .

När det står $- \sqrt{D}$ så innebär det att avståndet mellan symmetri linjen och x1 är "sträckan" $- \sqrt{D}$

Nej, talet $\sqrt{D}$ är alltid positivt (eller imaginärt), och eftersom ennsträcka alltid är positiv så är avståndet mellan symmetrilinjen och $x_1$ lika med $\sqrt{D}$ . Att det står ett minustecken innebär att detta nollställe ligger till vänster om symmetrilinjen.

Jämför följande två tal på tallinjen: $7\pm2$ , dvs talen $5$ och $9$

Talet $7-2=5$ ligger två steg till vänster om talet $7$ .
Talet $7+2=8$ ligger två steg till höger om talet $7$ .

På samma sätt gäller att

Talet $-\frac{p}{2}-\sqrt{D}$ ligger $\sqrt{D}$ steg till vänster om $-\frac{p}{2}$
Talet $-\frac{p}{2}+\sqrt{D}$ ligger $\sqrt{D}$ steg till höger om $-\frac{p}{2}$ .

Om $\sqrt{D} = 0$ så kommer det inte finnas avstånd mellan x1 och x2 därför sammanfaller x1 och x2 i samma punkt och får samma lösning.

Ja, då sammanfaller nollställena och vi får en dubbelrot. Detta inträffar då $(\frac{p}{2})^2=q$ .

Ordet tangerar betyder i detta fall "sammanfalla" dvs. x1 sammanfaller i x2..

Tangera betyder i detta fallet att parabeln vidrör x-axeln i en enda punkt. Läs mer på Matteboken (där du även ser en ung Johan Wendt), i SAOB, och på Wikipedia.

Diskriminanten betyder alltså det som står under rotteckent . Dvs. ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ . Och Inte $\sqrt{(\frac{p^{2}}{2^{2}}) - q}$ .

Det som $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$ är avståndet mellan nollställen och symmetrilinjen

och

$\frac{- p}{2} a n g e r v a r t s y m m e t r i l i n j e n k o r s a r .$

Hur ska jag rita grafen?

Betyder det att grafen endast ska sköra punkten (4,0) vid x axeln och (0,4) i y axeln..? Är min tidigare bild fel?

Bra. Nu har du fått till allting rätt.

Att rita grafen:

Rita ett koordinatsystem.
Markera de två kända punkterna (4,0) och (0,4).
Eftersom det är en andragradsfunktion så är grafen en parabel.
Att grafen tangerar x-axeln innebär att den kommer från ett håll och bara precis snuddar vid x-axeln i punkten (4,0) innan den vänder.
Det betyder att symmetrilinjen måste gå genom punkten (4,0). Rita in den.
Eftersom grafen är symmetrisk med avseende på symmetrilinjen så kan du nu även rita in en tredje punkt, nämligen speglingen i symmetrilinjen av punkten (0,4). Rita in den.

Visa dina framsteg so far.

För dig att fundera på: Kommer grafen uppifrån eller nerifrån när den närmar sig punkten (4,0), dvs ligger grafen mestadels ovanför eller under x-axeln?

Bilden i det här inlägget är i stort sett riktig, men kurvans form är lite konstig.

Vet inte om den här blev bra. Vart ska minimipunkten ligga?

vad menar du med ”kommer grafen uppifrån eller nerifrån? ” menar du om grafen skär punkten (4,0) uppifrån eller nerifrån. Isåfall skulle jag säga nerifrån. (Jag förstod nt din fråga) .

Jag har ytterligare en fråga .
i frågan står det att grafen saknar negativa värden. Vad innebär detta?

solskenet skrev:
Vet inte om den här blev bra. Vart ska minimipunkten ligga?

vad menar du med ”kommer grafen uppifrån eller nerifrån? ” menar du om grafen skär punkten (4,0) uppifrån eller nerifrån. Isåfall skulle jag säga nerifrån. (Jag förstod nt din fråga) .

Jag har ytterligare en fråga .
i frågan står det att grafen saknar negativa värden. Vad innebär detta?

Oj, jag såg inte att den felaktiga bilden också var i det inlägget. Det är den nedre bilden som är ganska OK. Den här är helt fel.

Den här är en bra början.

Den är lite för "spetsig" ner mot (4,0) men annars är den bra.

Vad betyder det att grafen inte har negativa värden?

solskenet skrev:
Vet inte om den här blev bra. Vart ska minimipunkten ligga?

Nej den är helt fel. Se mitt svar alldeles nyss.

vad menar du med ”kommer grafen uppifrån eller nerifrån? ” menar du om grafen skär punkten (4,0) uppifrån eller nerifrån. Isåfall skulle jag säga nerifrån. (Jag förstod nt din fråga) .

Så här:

Jag har ytterligare en fråga .
i frågan står det att grafen saknar negativa värden. Vad innebär detta?

Det är ett lite slarvigt sätt att säga att funktionen inte antar några negativa värden, vilket innebär att ingen del av grafen har negativa y-koordinater, vilket innebär att ingen del av grafen ligger under x-axeln.

Vad betyder det att grafen inte har negativa värden?

Att $y\ge 0$ för alla värden på x

Är denna bild godkänd?

Ja nu ser det bra ut. Men fortsätt att rita grafen en bit längre åt båda håll.

Tack så jättemycket! :)