Bestäm funktion med terasspunkt i (2, -3)
Hej!
"Bestäm ett funktionsuttryck som har en terasspunkt i (2, -3)."
Lösningsförslaget:
"Vi vet att punkten (2, -3) ska ligga på kurvan vilket betyder att f(2) = -3. Detta ska vara en terasspunkt och i en terasspunkt är både första- och andraderivatan lika med 0. Därför gäller
f(2) = -3, f'(2) = 0 och f"(2) = 0.
Terasspunkter kan man hitta på tredjegradsfunktioner så vi ut går från f(x) = ax^3 +bx^2 + cx+d. Vi har fyra okända konstanter, men bara tre villkor. Vi bestämmer således a till godtyckligt värde, t.ex 1."
Nu till min fråga. Jag undrar hur det kan räcka med att sätta upp kriterierna f(2) = -3, f'(2) = 0 och f"(2) = 0. Min bok verkar motsäga detta: "Om både f'(z) = 0 och f"(z) = 0 så kan man inte avgöra punktens karaktär utan att undersöka förstaderivatans teckenväxling".
Så med andra ord, bara för att f'(2) = 0 och f"(2) = 0 så måste det inte vara en terasspunkt. Jag kan själv komma på ett exempel. Ta funktionen f(x) = x^4 t.ex. Här är både första- och andraderivatan 0 för x = 0. Men trots detta är x = 0 en minpunkt, inte terasspunkt.
Det stämmer. Att förstaderivatan och andraderivatan skall ha värdet 0 är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor.
Smaragdalena skrev:Det stämmer. Att förstaderivatan och andraderivatan skall ha värdet 0 är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor.
Tack! Hur kan man skapa tillräckliga villkor?
En tredjegradsfunktipn har max två stationära punkter (punkter där förstaderivatan är lika med 0).
Om den endast har en stationär punkt så måste den punkten vara en terrasspunkt.
Ett tillräckligt villkor är alltså att tredjegradsfunktionens derivata har en dubbelrot.
Men jag tycker att ett enklare sätt att lösa denna (och många liknande uppgifter) är följande:
Funktionen har en terrasspunkt vid (0,0). Bra övning 1: Visa att så är fallet.
Det innebär att funktionen har en terrasspunkt vid (2,0). Bra övning 2: Förklara varför det är så.
Det innebär att funktionen har en terrasspunkt vid (2,-3). Bra övning 3; Förklara varför det är så.
