Bestäm formen av en cylinder med volymen 4 dm^3 med minimal begränsningsarea

Hej

Ja det är ett typisk derivata problem men går att lösa på en åk 9 nivå.

Vi vet att volymen $V=4 {\mathrm{dm}}^3$ och att volymen fås av $V=r^{2}h\mathrm{\pi }\iff h=\frac{V}{r^2\mathrm{\pi }}$. Du vet sedan cylindern ha den totala arean (om man antar det bara har ett lock): $A=2rh\mathrm{\pi }+r^2\mathrm{\pi }\Rightarrow A\left(r\right)=\frac{2r\mathrm{\pi }V}{r^{\mathit{2}}\mathrm{\pi }}+r^2\mathrm{\pi }=\frac{2V}{r}+r^2\mathrm{\pi }=\frac{8}{r}+r^{\mathit{2}}\mathrm{\pi }$. Härifrån skulle det vara bästa med derivata, i och med att du inte kan det. Testat några olika värden på radien sen se vad höjden blir. Då kanske du sedan upptäcker vad höjden och radien ska vara (det finns en mycket enkelt samband).

Jo, det tänkte jag också till en början, men om man beräknar den optimala radien och höjden med derivatan så får man $r=\sqrt[3]{\frac{2}{\pi }}\approx 0.86$ och $h=\frac{4}{\pi {\left({\displaystyle \frac{2}{\pi }}\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$.

Har svårt att se hur man skulle kunna gissa sig fram till dessa värden..

Om du använder dig av derivata blir raiden: $r=\sqrt[3]{\frac{4}{\mathrm{\pi }}}\Rightarrow h=\frac{4}{\mathrm{\pi }{\left(\sqrt[3]{\frac{4}{\mathrm{\pi }}}\right)}^2}=\sqrt[3]{\frac{4}{\mathrm{\pi }}}\Rightarrow \mathit{h}\mathbf{=}\mathit{r}$

dock så kommer jag inte på något exakt sätt just nu som ni kan använda utan att testa dig fram. Någon annan kanske har någon ide?

Jaha ja. Var jag så dum.

Jag gjorde aldrig kopplingen att båda var lika stora, tack för hjälpen :)

Det gäller att $h=2r$ Måste blivit något fel ovan. Se här: https://brownmath.com/calc/optimiz.htm

Kommer inte på någon enkel lösning utan derivata.

tomast80 skrev :

Det gäller att $h=2r$ Måste blivit något fel ovan. Se här: https://brownmath.com/calc/optimiz.htm

Kommer inte på någon enkel lösning utan derivata.

Dom har två "lock" på cylindern medans jag antog  "(om man antar det bara har ett lock)".