15 svar
1709 visningar
Kanelbullen behöver inte mer hjälp
Kanelbullen 356
Postad: 20 nov 2019 14:11 Redigerad: 20 nov 2019 14:25

Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

Hej!

Jag ska lösa denna uppgift 

och jag har börjat så här

Jag är säker på att det ska stå att när a är nollskilt Nej, där tänkte jag helt fel, det är när determinanten är nollskild som vi har en unik lösning x=…, y=…,z=…. Den lösningen kommer att vara X=A-1B.

Hur kommer jag vidare nu?

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 20 nov 2019 14:13

Är du bekant med determinanter?

Trinity2 1847
Postad: 20 nov 2019 14:20 Redigerad: 20 nov 2019 14:21

Tag den enklaste först; om a=1a=1 är samtliga 3 ekvationer identiska och ekvationssystemet är underbestämt. Då får du fallet med y=sy=s och z=tz=t. Beräkna vad xx är.

Antag sedan att a1a\neq1 och lös ekvationssystemet allmänt. Du kommer att få en lösning med 1+2a1+2a i nämnaren som visar att a=-1/2a=-1/2 är ett "problematiskt" värde. Lös ekvationssystemet för a-1/2a\neq-1/2 och a=-1/2a=-1/2.

Kanelbullen 356
Postad: 20 nov 2019 14:22

Jag känner till determinanten.

Jag skulle vilja beräkna det(A), alltså determinanten för koefficientmatrisen A, och se för vilket värde på a som determinanten blir noll.

När determinanten är noll finns ingen eller oändligt antal lösningar.

Men jag behöver också titta på den unika lösningen, vilken också troligen ska finnas. Det är fallet då determinanten är nollskild.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 20 nov 2019 14:22 Redigerad: 20 nov 2019 14:26

Med determinanter har vi ett bra verktyg för lösbarhetsfrågor.

Om detta ej är bekant, föreslår jag en Gausseliminering.

Annars: Lös ekvationen det(A)=0.

Kanelbullen 356
Postad: 20 nov 2019 14:54

Hej Trinity2!

Då tror jag att parameterlösningen är att 

x=1-s-t.

Kanelbullen 356
Postad: 20 nov 2019 15:03 Redigerad: 20 nov 2019 15:54
Trinity2 skrev:

 

Antag sedan att a1a\neq1 och lös ekvationssystemet allmänt. Du kommer att få en lösning med 1+2a1+2a i nämnaren som visar att a=-1/2a=-1/2 är ett "problematiskt" värde. Lös ekvationssystemet för a-1/2a\neq-1/2 och a=-1/2a=-1/2.

Hur ska jag kunna lösa ekvationssystemet allmänt genom att bara anta att a är skilt från 1? Ska jag bara låta a stå som det är?

Jag har vidare beräknat att när a = 1 så är det(A) = 0. När det(A) = 0 har vi en parameterlösning och det finns inget värde på a som gör att ekvationssystemet saknar lösning.

Tycker ni att detta verkar stämma?

Då ska jag försöka beräkna den entydiga lösningen X=A-1B. Men hur? Ledtrådar?

Kanske låta alla a stå kvar i koefficientmatrisen A och beräkna inversen på den?

Eller det kanske räcker att få totalmatrisen på trappstegsform?

Trinity2 1847
Postad: 20 nov 2019 16:18 Redigerad: 20 nov 2019 16:19
Kanelbullen skrev:
Trinity2 skrev:

 

Antag sedan att a1a\neq1 och lös ekvationssystemet allmänt. Du kommer att få en lösning med 1+2a1+2a i nämnaren som visar att a=-1/2a=-1/2 är ett "problematiskt" värde. Lös ekvationssystemet för a-1/2a\neq-1/2 och a=-1/2a=-1/2.

Hur ska jag kunna lösa ekvationssystemet allmänt genom att bara anta att a är skilt från 1? Ska jag bara låta a stå som det är?

Jag har vidare beräknat att när a = 1 så är det(A) = 0. När det(A) = 0 har vi en parameterlösning och det finns inget värde på a som gör att ekvationssystemet saknar lösning.

Tycker ni att detta verkar stämma?

Då ska jag försöka beräkna den entydiga lösningen X=A-1B. Men hur? Ledtrådar?

Kanske låta alla a stå kvar i koefficientmatrisen A och beräkna inversen på den?

Eller det kanske räcker att få totalmatrisen på trappstegsform?

Multiplicera första ekvationen med -a-a och addera ekv. osv. 

Du får till slut lösningen x=y=z=1/(1+2a)x=y=z=1/(1+2a).

Kanelbullen 356
Postad: 21 nov 2019 08:46

Skulle du Trinity2, eller någon annan vänlig person, vilja visa mig hur ni utför Gauss Jordan eliminationen för att få x=y=z=1/1+2a?

Jag har försökt lite men vet inte om jag gjort rätt. Det blir snabbt väldigt komplicerat, tycker jag.

Kanelbullen 356
Postad: 21 nov 2019 08:58 Redigerad: 21 nov 2019 09:27
Trinity2 skrev:

Tag den enklaste först; om a=1a=1 är samtliga 3 ekvationer identiska och ekvationssystemet är underbestämt. Då får du fallet med y=sy=s och z=tz=t. Beräkna vad xx är.

Stämmer det att när a=1, så är y=s, z=t och x=1-s-t?

Så här har jag fått fram det:

Vidare, ekvationssystemet saknar lösningar när a=-1/2.

När determinanten är noll kan vi ha fallet att vi har oändligt antal lösningar eller inga lösningar.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 21 nov 2019 12:17 Redigerad: 21 nov 2019 12:29

Med förbehåll för ev. fel, fick jag följande Gusseliminering:

M a o saknas lösning då a=±1a=\pm 1.

För a±1a\neq \pm 1, får vi "nollrad", dvs oändligt många lösningar, om a=-1/2a=-1/2. (Faktorisera täljaren i VL)

Anm När jag löser det(A)=0 får jag a=-1/2, a=1. Här finns alltså inte a=-1.

Kanelbullen 356
Postad: 21 nov 2019 14:03 Redigerad: 21 nov 2019 14:06

Tack! Men jag får ändå ingen rätsida på detta.

När jag lägger in matrisen med a=-0,5 i räknaren och slår på Rref så får jag totalmatrisen på trappstegsform och då ser den ut så här:

10-1001-100001.

Den sista raden skulle jag tolka som att det inte finns några lösningar när a=-1/2.

Och jag undrar: Tycker ni inte att för a=1 så finns oändligt många lösningar och att vi då har att x=1-s-t. Har jag gjort totalt fel där?

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 21 nov 2019 15:22 Redigerad: 21 nov 2019 15:26

Jo, precis. Stoppar vi in a=-1/2 i systemet, leder detta till ett system, som saknar lösningar. Så även om jag litar mer på handräkningar än på miniräknare, så  tolkar du din miniräknare helt korrekt.

För a=1 så har du alldeles rätt:

x=1-s-ty=sz=t\left\{\begin{array}{rl}x&=1-s-t\\y&=s\\z&=t\end{array}\right., dvs oändligt många lösningar.

För a=-1 saknar systemet lösning, enligt mina kalkyler.

Kanelbullen 356
Postad: 21 nov 2019 17:09 Redigerad: 21 nov 2019 17:49

Okej :-) Tack. Då var det bara den entydiga lösningen kvar!

När a1... 

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 21 nov 2019 18:14

Då tänker jag att du kan nyttja min Gausseliminering,

för att lösa ut z till att börja med. Därefter går du uppåt i trappstegsmatrisen, för att lösa ut y för känt z, och till sist löser du ut x för känt y och z.

Kanelbullen 356
Postad: 4 dec 2019 22:47

Svara
Close