Bestäm följande gränsvärde!

En annan variant är att titta längs linjerna 

y = x 

och 

y = -x 

Dr. G skrev:

En annan variant är att titta längs linjerna 

y = x 

och 

y = -x 

Hur använder jag den metoden?

Samt hur vet man när man kan använda den metoden/när det är lämpligt, eller går det alltid?

Att titta på några specialfall kan vara bra om man misstänker att gränsvärdet INTE existerar. 

Om vi rör oss längs y = -x så är uttrycket

$x(-x)e^{-(x-x)^2}=-x^2$

som går mot -∞ när x (och y) till beloppet går mot ∞. 

Om vi rör oss längs y = x så är uttrycket

$x(x)e^{-(x+x)^2}=x^2e^{-4x^2}$

Det här är produkten av två positiva faktorer, så knappast -∞. (det går mot 0 för stora x.)

Dr. G skrev:

Att titta på några specialfall kan vara bra om man misstänker att gränsvärdet INTE existerar. 

Om vi rör oss längs y = -x så är uttrycket

$x(-x)e^{-(x-x)^2}=-x^2$

som går mot -∞ när x (och y) till beloppet går mot ∞. 

Om vi rör oss längs y = x så är uttrycket

$x(x)e^{-(x+x)^2}=x^2e^{-4x^2}$

Det här är produkten av två positiva faktorer, så knappast -∞. (det går mot 0 för stora x.)

Så ifall man testar båda dessa fallen och ett av dem eller båda visar att det inte går mot 0 vid stora x utan oändligheten så kan man säga att ett gränsvärde inte existerar? Har jag förstått rätt?

Tack för hjälpen förresten och vet du också hur man fortsätter ifall man vill göra det sättet jag gjorde? Fastnade i slutet där eftersom jag inte kunde förkorta mer, skulle gärna vilja lära mig hur man fortsätter.

Nämnaren i ditt uttryck är en exponentialfunktion med 

$r^2(1 + \sin 2\phi)$

i exponenten. Exponenten är aldrig negativ. 

Täljaren är 

$r^2 \sin 2\phi$

När r går mot ∞ går exponentialfunktionen mycket snabbare mot ∞ än r^2 och uttrycket går mot 0, ifall inte argumentet i exponentialfunktionen är 0, d.v.s  sin(2phi) = -1. Då får man kolla på det fallet separat (alltså y = -x) och du bör komma fram till samma ska som vi gjorde tidigare.