Bestäm fmax,fmin i kompakt område (kolla randpunkter) flervariabelanalys

Det är en sak jag inte fattar med denna uppgiften.

" Bestäm största och minsta värdet av funktionen $f (x, y) = x y^{2} - x^{2} - y i o m r å d e t D : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2$ ". Området D är en rektangel som ses. Först ska man kolla f'y och f'x av funktionen f(x,y) för stationära punkter vilket jag gjort. Sedan när det kommer till randpunkter förstår jag inte en sak.

T.ex om vi undersöker den nedersta delen av rektangeln, f(x,0)= -x^2, för stationära punkter så saknas dessa för området D: 0<=x<=1. Varför då? Tar vi derivatan får vi -2x=0 vilket x=0 ger en lösning. Varför är inte denna lösning valid då den ligger i intervallet? (i kursboken står "strängt avtagande" och de har inte försökt ta fram några stationära punkter heller).

Samma med den vänstra sidan av rektangeln där f(0,y)=-y så är denna också strängt avtagande. (förstår inte varför)

Om vi sedan tar den översta delen av rektangeln, f(x,2)=4x-x^2-2 för D: 0<=x<=1, så är denna strängt växande eftersom derivatan ger 4-2x=0 och det enda som tillgodoser denna ekvation är x=2 som ligger utanför vårt intervall D. Så denna förstår jag varför men samma logik kan inte appliceras på exemplet ovanför?

Hej,

Funktionen

$g(x) = f(x,0)=-x^2$ där $0\leq x\leq 1$

har största värde $g(0) = 0$ och minsta värde $g(1)=-1$ .

Funktionen

$h(x) = f(x,2)=2-(x-2)^2$ där $0\leq x\leq 1$ ,

har största värdet $h(1)=1$ och minsta värdet $h(0)=-2$ .

Att derivera funktionerna är inte intressant eftersom derivatorna endast studerar dem på det öppna intervallet $(0,1)$ medan dessa funktioner antar optimala värden utanför det öppna intervallet (0,1) där derivator är oanvändbara.

Albiki skrev:
Hej,
Funktionen
$g(x) = f(x,0)=-x^2$ där $0\leq x\leq 1$
har största värde $g(0) = 0$ och minsta värde $g(1)=-1$ .
Funktionen
$h(x) = f(x,2)=2-(x-2)^2$ där $0\leq x\leq 1$ ,
har största värdet $h(1)=1$ och minsta värdet $h(0)=-2$ .
Att derivera funktionerna är inte intressant eftersom derivatorna endast studerar dem på det öppna intervallet $(0,1)$ medan dessa funktioner antar optimala värden utanför det öppna intervallet (0,1) där derivator är oanvändbara.

Med öppna intervall menar du $0 \leq x \leq 1$ ? Där har ju g ett optimalt värde på 0 vid x=0 och h vid x=1 som ligger i intervallet?

Tror jag fortfarande inte fattar. Eller menar du att båda optimala värdena måste ligga innanför 0<=x<=1 för att man ska fortsätta derivera?

Ett öppet intervall är $0<x<1.$

Ett slutet intervall är $0\leq x \leq 1.$

Albiki skrev:
Ett öppet intervall är $0<x<1.$
Ett slutet intervall är $0\leq x \leq 1.$

Då är jag med. Så vid randen kollar man alltid bara $0 < x < 1, 0 < y < 2$ ?

dvs inte hörnpunkterna?

Finns det andra snabbare sätt att se detta än att sätta in värdena som du gjorde?

Albiki skrev:
Hej,
Funktionen
$g(x) = f(x,0)=-x^2$ där $0\leq x\leq 1$
har största värde $g(0) = 0$ och minsta värde $g(1)=-1$ .
Funktionen
$h(x) = f(x,2)=2-(x-2)^2$ där $0\leq x\leq 1$ ,
har största värdet $h(1)=1$ och minsta värdet $h(0)=-2$ .
Att derivera funktionerna är inte intressant eftersom derivatorna endast studerar dem på det öppna intervallet $(0,1)$ medan dessa funktioner antar optimala värden utanför det öppna intervallet (0,1) där derivator är oanvändbara.

Orkar inte starta en ny tråd. Du säger att eftersom värdena antar optimala värden utanför det öppna intervallet så deriveras de inte. Men om vi kollar randen längs den högra sidan av rektangeln: f(1,y) = $y^{2} - 1 - y$ , i $0 \leq y \leq 2$

så antar denna funktionen optimala värden på g(0)=0 och g(2)=-2. -2 och 0 är ju utanför det öppna intervallet men ändå deriveras denna funktionen och en ny kritisk punkt fås nämligen f(1,1/2) = -5/4? Varför ska man derivera här när de ursprungliga punkterna är utanför intervallet?

Hej,

Om du deriverar funktionen $g$ så får du funktionen $g^\prime(x) = -2x$ som saknar nollställe på det öppna intervallet $0 < x < 1$ ; funktionen $g$ saknar därför stationära punkter.
Om du deriverar funktionen $h$ så får du funktionen $h^\prime(x) = -2(x-2)$ som saknar nollställe på det öppna intervallet $0<x<1$ ; funktionen $h$ saknar därför stationära punkter.

Eftersom intervallet $0\leq x \leq 1$ är slutet och begränsat (det vill säga kompakt) så vet du att de kontinuerliga funktionerna $g$ och $h$ har största och minsta värde någonstans på intervallet. Du har konstaterat att funktionerna saknar stationära punkter i det inre av intervallet så därför måste de största och minsta värdena antas på intervallets rand, det vill säga $x=0$ och $x=1$ . För att veta vilka som ger största respektive minsta värde beräknas funktionsvärdena i dessa randpunkter och jämförs.

Svara

Visa senaste svar