Bestäm flödet av vektorfält

Bestäm flödet av vektorfältet $A (x, y, z) = (x^{2} + y^{2}) i + (y^{2} + z^{2}) j + (x^{2} + z^{2}) k$

ut genom konen S: $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - z^{2} + 4 z = & 4 \\ 0 \leq z \leq 2 \end{cases}$

i riktning $n \cdot k > 0$

Jag försökte använda divergens satsen. Jag faktoriserade uttrycket $x^{2} + y^{2} - z^{2} + 4 z = 4$

till $x^{2} + y^{2} = {(z - 2)}^{2}$ . Jag använder mig av cylindriska koordinater och min integral i slutändan blir då: $\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{z - 2} r (2 r \cos x + 2 r \sin x + 2 z) d r d x d z$ = $\frac{8 π}{3}$

Svaret är egentligen $\frac{20 π}{3}$

Jag tror problemet med integralen är nog mellan vilka punkter det ska integreras mellan. Specifikt för r. Är inte helt säker om det ska vara mellan $0 \leq r \leq z - 2$ .

Dina gränser ser bra ut. Det du tycks förbise är att divergenssatsen gäller det totala flödet ut ur en sluten volym. Frågan gäller däremot bara konens mantelyta.

För att kompensera för det måste du korrigera för flödet genom konens bottenyta. Är du med?

Edit: Rättelse, dina gränser ser nästan bra ut, jag skulle hellre se $r=0$ till $2-z$ , vi vill ha $r>0$ . Men du har fått rätt värde på integralen.

Svara