Bestäm/finn den konstanta termen (Matematik/Universitet)

Ja det är binomialsatsen du ska använda.

Fundera på om det i utvecklingen av uttrycket (x²+x^-2 )¹⁵ finns någon eller några kombinationer av (x²)^15-ⁿ och (x^-2)ⁿ som ger en konstantterm?

Yngve skrev:
Ja det är binomialsatsen du ska använda.

Fundera på om det i utvecklingen av uttrycket (x²+x^-2 )¹⁵ finns någon eller några kombinationer av (x²)^15-ⁿ och (x^-2)ⁿ som ger en konstantterm?

Okej. Tänker att man gör såhär efteråt ? Är det rätt?

X^30-n och x^-2n ?

Och sen (30-n)(-2n)?

Nästan.

Varje term i utvecklingen av binomet har en faktor som är x^2(15-n)x^-²ⁿ, dvs x^30-2nx^-2n.

Skriv nu detta som ett uttryck x^k.

Vad blir då k och vilket villkor på k måste vara uppfyllt för att x^k ska vara en konstant?

Yngve skrev:
Nästan.

Varje term i utvecklingen av binomet har en faktor som är x^2(15-n)x^-²ⁿ, dvs x^30-2nx^-2n.

Skriv nu detta som ett uttryck x^k.

Vad blir då k och vilket villkor på k måste vara uppfyllt för att x^k ska vara en konstant?

Alltså X^30-4k ? Eller ?

Vad skall x vara upphöjt till, om det skall motsvara konstanttermen?

aquastar skrev:

Alltså X^30-4k ? Eller ?

Nästan. Det blir x^30-4n.

Du vill nu att uttrycket x^30-4nska vara en konstant, dvs värdet ska inte bero av x.

För att detta ska gälla så måste exponenten 30-4n ha ett visst värde. Kan du säga villet det ska vara?

Nu har ni räknat på $(x^2+x^{-2})^{15}$ (som saknar konstantterm) men uppgiften gällde $(x^2+x^{-3})^{15}$ .

D4NIEL skrev:
Nu har ni räknat på $(x^2+x^{-2})^{15}$ (som saknar konstantterm) men uppgiften gällde $(x^2+x^{-3})^{15}$ .

Ja där ser man! Att man inte ser alltså.

OK det blir då en bra uppgift för aquastar att genomföra samma resonemang med det korrekta uttrycket.

Yngve skrev:
D4NIEL skrev:
Nu har ni räknat på $(x^2+x^{-2})^{15}$ (som saknar konstantterm) men uppgiften gällde $(x^2+x^{-3})^{15}$ .

Ja där ser man! Att man inte ser alltså.

OK det blir då en bra uppgift för aquastar att genomföra samma resonemang med det korrekta uttrycket.

Jaha oj hade missat att det stod -3.

Så nu blir det X^30-5k

Nu bryter man ut k? Som blir 6 då. O det är svaret eller?

Smaragdalena skrev:
Vad skall x vara upphöjt till, om det skall motsvara konstanttermen?

Jag antar x ska vara upphöjt till det man får när man adderar alla exponenter och får då fram konstanttermen?

Det skall inte vara en x-term, inte en x²-term, inte en (1/x)-term utan en konstantterm. Vad skall x vara upphöjt till?

Smaragdalena skrev:
Det skall inte vara en x-term, inte en x²-term, inte en (1/x)-term utan en konstantterm. Vad skall x vara upphöjt till?

Upphöjt till den konstanta termen? Eller 30-5k ?

Nej, det ska vara upphöjt till 0.

Detta eftersom x⁰ = 1, och detta beror inte på värdet av x.

Det betyder alltså att om exponenten är lika med 0 så har vi en konstantterm.

Nästa steg är att ta reda på för vilket värde på n som detta inträffar och därefter ta reda på vilken koefficient denna konstantterm har.

Yngve skrev:
Nej, det ska vara upphöjt till 0.

Detta eftersom x⁰ = 1, och detta beror inte på värdet av x.

Det betyder alltså att om exponenten är lika med 0 så har vi en konstantterm.

Nästa steg är att ta reda på för vilket värde på n som detta inträffar och därefter ta reda på vilken koefficient denna konstantterm har.

aha okej. Men är inte svaret 6?

Visa hur du kom fram till det så kan vi svara på om det stämmer eller inte. Förresten, är det n som är 6 eller koefficienten som är 6?

Smaragdalena skrev:
Visa hur du kom fram till det så kan vi svara på om det stämmer eller inte. Förresten, är det n som är 6 eller koefficienten som är 6?

Tror på detta sätt

(x²)^15-k * (x^-3)^k

30-5k=0

K=6

Det är väl koefficienten som är 6?

aquastar skrev:

Tror på detta sätt

(x²)^15-k * (x^-3)^k

30-5k=0

K=6

Det är väl koefficienten som är 6?

Du tänker rätt men du blandar ihop n och k.

Det gäller att (x²)^15-n(x^-3)ⁿ = x^30-5n.

Om vi kallar 30-5n för k så har vi uttrycket x^k.

Detta uttryck är konstant då k = 0, dvs då 30-5n = 0, dvs då n = 6.

Nu gäller det för dig att ta reda på vad koefficienten är då n = 6. Den är inte 6. Använd binomialsatsen för att ta reda på det.

Yngve skrev:
aquastar skrev:

Tror på detta sätt

(x²)^15-k * (x^-3)^k

30-5k=0

K=6

Det är väl koefficienten som är 6?

Du tänker rätt men du blandar ihop n och k.

Det gäller att (x²)^15-n(x^-3)ⁿ = x^30-5n.

Om vi kallar 30-5n för k så har vi uttrycket x^k.

Detta uttryck är konstant då k = 0, dvs då 30-5n = 0, dvs då n = 6.

Nu gäller det för dig att ta reda på vad koefficienten är då n = 6. Använd binomialsatsen för att göra det.

Okej då förstår jag. Så man ska använda sig av n och inte k.

Är det inte 15 då?

aquastar skrev:

Okej då förstår jag. Så man ska använda sig av n och inte k.

Är det inte 15 då?

Vad är det som är 15 och varför?

Yngve skrev:
aquastar skrev:

Okej då förstår jag. Så man ska använda sig av n och inte k.

Är det inte 15 då?

Vad är det som är 15 och varför?

Konstanta termen med 6?

Varför är den det?

Visa hur du räknar.

Yngve skrev:
Varför är den det?

Visa hur du räknar.

Jag tänkte att det var genom binomalsatsen

(a+b)ⁿ= aⁿ+ $(\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) a^{n - 1} b^{1} + . . .$

Det är rätt att använda den satsen. Visa steg för steg hur du sätter in rätt värden och förenklar!

Du blandar ihop n med 15.

Du ska använda (a+b)¹⁵ = ...

Vi kan tydliggöra det hela på följande sätt:

$(a+b)^{15}=\sum_{n=0}^{15}{15\choose n} a^{15-n}b^n$

De första termerna blir alltså

${15\choose 0} a^{15}b^0+{15\choose 1} a^{14}b^1+{15\choose 2} a^{13}b^2+$ ...

Den för oss intressanta termen är ju då n = 6 och den blir alltså ${15\choose 6} a^9b^6$